?AA1?AC?CB?2，AB?22,?A1D?6，DO?AO?11AC?2 , 12?cos?A1DO?
3?,??A1DO?． 2620．设等差数列 ?an?的前n项和为 Sn， a5?a6?24,S11?143数列 ?bn?的前n项和为Tn 满足2an?1??Tn?(a1?1)(n?N?)
(I)求数列 ?an?的通项公式及数列 ? (Ⅱ)是否存在非零实数 【答案】 (I)
?1??的前n项和； aa?nn?1??，使得数列 ?bn?为等比数列？并说明理由
n (II)见解析. 6n?9【解析】(I)设数列?an?的公差为d,由S11?11a6?143,?a6?13,又a5?a6?24，解得a5?11,d?2,
*因此?an?的通项公式是an?a5??n?5??2?2n?1n?N
??所以
11?11?????，从而前n项的和为 anan?12?2n?12n?3?1111?111111?n ??????????????3?55?72n?12n?3?6n?9?2n?1??2n?3?2?3557(II)因为a1?3,2an?1??Tn?(a1?1)(n?N?),?4n??Tn?2?Tn?当n?1时，b1?1?4n?2?
6?；当n?2时，bn?Tn?Tn?1?3?4n?1.
所以bn?1?4bn?n?2?，若?bn?是等比数列，则有b2?4b1而b1?盾，故数列?bn?不是等比数列.
20．如图1，在直角梯形ABCD中，AD//BC,?BAD?6?,b2?12?，所以
b2?2与b2?4b1矛b1?2,AB?BC?1AD?a，E是AD的中点，O2是AC与BE的交点，将?ABE沿BE折起到图2中?A1BE的位置，得到四棱锥
A1?BCDE．
（Ⅰ）证明：CD?平面AOC； 1BCDE时，四棱锥A1?BCDE的体积为362，求a的值． （Ⅱ）当平面A1BE?平面
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）a?6 试题解析：（Ⅰ）在图1中，因为AB?BC?1?AD?a，E是AD的中点?BAD?，所以BE?AC， 22BE?平面AOC即在图2中，BE?AO 1,BE?OC从而1又CD//BE 所以CD?平面AOC． 1BCDE， （Ⅱ）由已知，平面A1BE?平面BCDE?BE 且平面A1BE?平面
又由（Ⅰ）知，AO?BE，所以AO?平面BCDE， 11即AO1是四棱锥A1?BCDE的高， 由图1可知，AO?122AB?a，平行四边形BCDE面积S?BC?AB?a2， 22112223V??S?AO??a?a?a13326从而四棱锥A， 1?BCDE的为由23a?362，得a?6． 6af(x)?(x?)exx，a?R． 22.已知函数
（Ⅰ）当a?0时，求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
（Ⅱ）当a??1时，求证：f(x)在(0,??)上为增函数；
（Ⅲ）若f(x)在区间(0,1)上有且只有一个极值点，求a的取值范围．
x3?x2?ax?axe2{xx?0}f?(x)?f(x)x（20）解：函数定义域为，.
（Ⅰ）当a?0时，f(x)?x?ex，f?(x)?(x?1)ex. 所以f(1)?e,f?(1)?2e.
所以曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是y?e?2e(x?1)， 即2ex?y?e=0. ……… 3分
x3?x2?x?1xe. （Ⅱ） 当a??1时，f?(x)?x2设g(x)?x?x?x?1，则g?(x)?3x2?2x?1?(3x?1)(x?1).
3211或x??1，注意到x?0，所以x?. 331令g?(x)?(3x?1)(x?1)?0得，注意到x?0，得0?x?.
311所以函数g(x)在(0,)上是减函数，在(,??)上是增函数.
331122?0. 所以函数g(x)在x?时取得最小值，且g()?3327令g?(x)?(3x?1)(x?1)?0得，x?所以g(x)在(0,??)上恒大于零.
x3?x2?x?1xe?0恒成立. 于是，当x?(0,??)，f?(x)?2x所以当a??1时，函数f(x)在?0,???上为增函数. ……… 7分
x3?x2?x?1xe. （Ⅱ）问另一方法提示：当a??1时，f?(x)?x2由于x?x?x?1?0在?0,???上成立，即可证明函数f(x)在?0,???上为增函数.
32x3?x2?ax?a). （Ⅲ）（Ⅱ）f?(x)?e(x2x2设h(x)?x?x?ax?a，h?(x)?3x?2x?a.
32(1) 当a?0时，h?(x)?0在(0,??)上恒成立，
即函数h(x)在(0,??)上为增函数.
而h(0)??a?0，h(1)?2?0，则函数h(x)在区间?0,1?上有且只有一个零点x0，使f?(x0)?0,且
在(0,x0)上，f￠(x)<0，在(x0,1)上，f￠(x)>0，故x0为函数f(x)在区间?0,1?上唯一的极小值点; （2）当a?0时，当x??0,1?时，h?(x)?3x2?2x?0成立，函数h(x)在区间?0,1?上为增函数，又此
时h(0)?0，所以函数h(x)?0在区间?0,1?恒成立，即f￠(x)>0，
故函数f(x)在区间?0,1?为单调递增函数，所以f(x)在区间?0,1?上无极值； （3）当a?0时，h(x)?x3?x2?ax?a?x3?x2?a(x?1).
当x??0,1?时，总有h(x)?0成立，即f?(x)?0成立，故函数f(x)在区间?0,1?上为单调递增函数，所以f(x)在区间?0,1?上无极值.
综上所述a?0.