?(k?4)(?21?23k)?3k??3?0 22k?4k?4 解得k??2 ……………………6分 （Ⅲ）①当直线AB斜率不存在时，即x1?x2,y1??y2， 由已知m?n?0，得4x12?y12?0?y12?4x12 又A(x1,y1)在椭圆上，
4x122所以 x??1?|x1|?,|y1|?2 4221 S?11|x1||y1?y2|?|x1|2|y1|?1 ,三角形的面积为定值．………7分 22 ②当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y?kx?t
?y?kx?t?222 ?y2?(k?4)x?2ktx?t?4?0 2??x?1?4 必须??0 即4k2t2?4(k2?4)(t2?4)?0
?2ktt2?4 得到x1?x2?2，x1x2?2 ………………9分
k?4k?4 ∵m?n，∴4x1x2?y1y2?0?4x1x2?(kx1?t)(kx2?t)?0 代入整理得：2t?k?4 …………………10分 S?221|t|1|AB|?|t|(x1?x2)2?4x1x1 …………11分
21?k22|t|4k2?4t2?164t2 ???1 2k?42|t| 所以三角形的面积为定值． …………………12分 22．解析：（Ⅰ）当a?
99时，f(x)?lnx?，定义域是(0,??)， 22(x?1)f?(x)?119(2x?1)(x?2)?x?f(x)?0， 令，得??或x?2． …2222x2(x?1)2x(x?1)
分
?当0?x?11或x?2时，f?(x)?0，当?x?2时，f?(x)?0， 22
1212 ?函数f(x)在(0,)、(2,??)上单调递增，在(,2)上单调递减． ……………4分
13?f(x)的极大值是f()?3?ln2，极小值是f(2)??ln2．
22?当x??0时，f(x)???；当x???时，f(x)???， ?当g(x)仅有一个零点时，k的取值范围是k?3?ln2或k?分
3?ln2．……………522，定义域为(0,??)． x?12?1， 令h(x)?f(x)?1?lnx?x?1 （Ⅱ）当a?2时，f(x)?lnx?12x2?1 ?h?(x)????0，
x(x?1)2x(x?1)2 ?h(x)在(0,??)上是增函数． …………………………………7分
①当x?1时，h(x)?h(1)?0，即f(x)?1； ②当0?x?1时，h(x)?h(1)?0，即f(x)?1；
③当x?1时，h(x)?h(1)?0，即f(x)?1． …………………………………9分 （Ⅲ）（法一）根据（2）的结论，当x?1时，lnx?2x?1?1，即lnx?． x?1x?1nk?1k?11k?1n1?令x?，则有ln， ??ln． ……………12??kk2k?1k2k?1k?1k?1分
?ln(n?1)??lnk?1nk?1， k?ln(n?1)?14分
111????． ……………………………………352n?1 （法二）当n?1时，ln(n?1)?ln2．
?3ln2?ln8?1，?ln2?10分
1，即n?1时命题成立． ………………………………3111????． 352k?1时
，
设当n?k时，命题成立，即 ln(k?1)? ?n?k?1k?21k?1n???k????ln(． ?k?1352k?1k?12x?1?1，即lnx?根据（Ⅱ）的结论，当x?1时，lnx?． x?1x?1k?2k?21?令x?，则有ln，
k?1k?12k?31111?则有ln(k?2)?????，即n?k?1时命题也成立．……………
352k?12k?3ln?13分
因此，由数学归纳法可知不等式成立． ………………………………y14分
（法三）如图，根据定积分的定义，
n1111?1??1????1??dx．……11分 12x?1572n?1 nn111 ??dx??d(2x?1) 12x?1o1 2 3 4 5 6 212x?1 … n-1 n x11n?ln(2x?1)1?[ln(2n?1)?ln3]， 22n111111111??(???)???dx ??????3572n?1352n?1312x?111??[ln(2n?1)?ln3]． ………………………………12分 32112?3ln31??[ln(2n?1)?ln3]?ln(n?1)??[ln(2n?1)?ln(n2?2n?1)]， 3262k得
又?2?3?3ln3，ln(2n?1)?ln(n?2n?1)，
211??[ln(2n?1)?ln3]?ln(n?1)． 32111??????ln(n?1)． …………………………………14352n?1分