面BCDE，得到四棱锥A?BCDE，设CD、BE、AE、AD的中点分别为M、N、P、Q. （1）求证：M、N、P、Q四点共面； （2）求证：平面ABC⊥平面ACD； （3）求异面直线BE与MQ所成的角.
A A
A P E B C D
M C N B
D E D
Q
E C B 解：(1)由条件有PQ为?ADE的中位线，?PQ∥DE?????????.1分 又∵ MN为梯形BCDE的中位线 ?MN∥DE ，?????????.2分
?PQ∥MN ?????????.3分
? M、N、P、Q四点共面．。。。。。。。4分
（2）证明:在等腰直角三角形ABC中，其中位线DE，则有AC⊥BC,DE∥BC， 沿其中位线DE将平面ADE折叠后有 AD?DE，CD?DE 。。。。。。5分 又AD?CD?D，?DE?面ACD， ???????.6分 又DE∥BC ?BC?平面ACD， ?????7分
又∵ BC?平面ABC， ?平面ABC?平面ACD???????.8分 (3) 解法一
由条件知AD=1，DC=1，BC=2，延长ED到R，使DR＝ED，BC，ER∥BC，故BCRE为平行四边形 。。。。。9分
A连结RC 则ER＝
?RC∥BE，又AC∥QM
??ACR为异面直线BE与QM所成的角?（或?的补?DA=DC=DR，且三线两两互相垂直，
∴由勾股定理得AC=AR=RC=2， 。。。。。。11分
RQDEMCB角）。。10分
??ACR为正三角形??ACR＝60?
?异面直线BE与QM所成的角大小为60.。。。。12分
?解法二：设所求异面直线所成的角为θ，
由（2）得DA，DC，DE两两互相垂直，如图以ED为x轴，DC为y轴，DA为z轴，D为原点建立空间直角坐标系， 。。。。。9分
由题意得Q（0,0,1），M（0,1,0），E(-1,0,0),B(-2,1,0) 。。。。10分 ?BE?(1,?1,0),MQ?(0,?1,1)。
cos??|cosMQ,BE|?|MQ?BEMQ?BE|?|(1,?1,0)?(0,?1,1)2?21。11分 |?。2。。。。。。12分 ?00???900,???600，?异面直线BE与QM所成的角大小为60?.。
20.（本题满分12分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x（元） 销量y（件） 0.25 16 0.5 12 1 5 2 2 4 1 (3)根据上面的数据判断，y??ax?b与y?出判断即可，不必说明理由）
c?d哪一个适宜作为产品销量y关于单价x的回归方程类型？（给x(4)根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(计算结果保留两位小数) 参考公式：
解：（1）y???b?(x?x)(y?y)?xy?nxyiiiii?12(x?x)?ii?1nnn?i?1n2x?i?nxi?12??y?bxac?d更适宜作为产品销量y关于单价x的回归方程。?? ?2分 x1
（2）令t＝，则y＝tc?d， ?3分
x原数据变为：(得到每行正确数据各得1分）
t y ty t2 4 16 64 16 2 12 24 4 1 5 5 1 0.5 2 1 0.25 0.25 1 0.25 0.0625 ?? ?6分
∴t＝1.55，y＝7.2. ?? ?7分 c≈4.13 ?? ?8分（即c计算正确的4分）
d＝y－ct≈0.8. ?? ?10分
∴y＝0.8＋4.13 t.
∴y与x的回归方程是y＝0.8＋
4.13. ?? ?12分 x20．如图，点A,B分别在射线l1:y?2x(x?0)，l2:y??2x(x?0)上运动，且S?AOB?4. （1）求xy1?x2；
A（2）求线段AB的中点M的轨迹方程；
M（3）判定中点M到两射线的距离积是否是为定值，若是则找OxB定值说明理由。
20【解析】（1）设M(x,y)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，∠AOB?2?， ?1分 由y?2x可得，tan??k?2，解法一：那么sin2??2k1?k2?45，???3分 （解法二：∵θ∈（0,90°） ，∴sinθ=
255, cosθ=55, sin2θ=45???3分)
又?OA?5x1，OB?5x2 ?????4分
?S?AOB?12OA?OB?sin2??4，化简得x1?x2?2，????①式?????5分 (2)?M(x,y)是A(x1,y1)与B(x2,y2)的中点，
?x1?x2?2x，y1?y2?2y，且y1?2x1，y2??2x2，???????6分
联立可得 4x221?x2?4x?y，???????7分 并代入①式，得4x2?y2?8，???????8分
?中点M的轨迹方程是4x2?y2?8，(x?0) ??????????9分
（Ⅱ）设中点M到射线OA、OB的距离分别为d1、d2，
??d2x?y1?2则??1?22?2x?y， ??????????10分
?d?2?12?22那么d2x?yx?y4x2?y21?d2?12?22?212?22?5?85 ??????????11分 出该值并证明；若不是
?中点M到两射线的距离积为定值 ??????????12分
21.（本小题满分12分）设f(x)?x?a?1?alnx，?a?R? x（4） 当a=1时，求曲线y?f(x)在点??11?,?ln2?处的切线方程； ?22?（5） 若x?1是函数f(x)的极大值点，求a的取值范围；
（6） 当a?1时，在?,e?上是否存在一点x0，使f(x0)?e?1成立？说明理由。
e?1???1,?????1分 x1111 所以曲线y?f(x)在点(,?ln2)处的切线的斜率为f'()?1???1.?2分
1222211所求切线方程为y?(?ln2)??(x?), 即x?y?ln2?1?0.???3分
22解：（1）当a?1时，f(x)?x?lnx,f(x)?1?'a?1ax2?ax?(a?1)(x?1)[x?(a?1)]?(x?0), （2）f'(x)?1?2??xxx2x2 令f(x)?0得，x1?1，x2?a?1,???4分
①当a?1?0即a?1时， f(x),f(x)随x的变化情况如下表：
''x f'(x)
(0,1) 1 (1,??) ? 递减 0 极小值 ? 递增 f(x)
由表知x?1是函数f(x)的极小值点，不合题意；
②当0?a?1?1即1?a?2时，f(x),f(x)随x的变化情况如下表：
'x f'(x) (0,a?1) a?1 (a?1,1) 1 (1,??)
? 递增 0 极大值 ? 递减 0 极小值 ? 递增 f(x) 由表知x?1是函数f(x)的极小值点，不合题意；
'③当a?1?1即a?2时，f(x),f(x)随x的变化情况如下表：
x f'(x) (0,1) 1 (1,??) ? 递增 0 非极值 ? 递增 f(x) 由表知x?1不是函数f(x)的极值点，不合题意；
④当a?1?1即a?2时， f'(x),f(x)随x的变化情况如下表：
x f'(x) (0,1)1 (1,a?1) a?1 (a?1,??) ? 递增 0 极大值 ? 递减 0 极小值 ? 递增 f(x) 由表知x?1是函数f(x)的极大值点，适合题意；???7分
综上所述，当a?2时，x?1是函数f(x)的极大值点．即所求取值范围是?2,???.?8分 （3）假设当a?1时，在[,e]存在一点x0，使f(x0)?e?1成立， 则只需证明x?[,e]时, f(x)max?e?1即可． ???9分
由（2）知，当a?1时，
函数f(x)在[,1]上递减，在[1,e]上递增，
1e1e1e1?f(x)max?max{f(),f(e)}．
e1所以只需证明f(e)?e?1或f()?e?1即可. ???10分
e(e?1)(1?a)a?1?a?(e?1) ?∵f(e)?(e?1)?e?
ee(e?1)(1?a)?0 由a?1知，
e ∴f(e)?(e?1)?0 即f(e)?e?1成立，所以假设正确，???11分 即当a?1时，在x?[,e]上至少存在一点x0，使f(x0)?e?1成立．???12分 22.（本小题满分10分）
如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，
1eFC.
(1)求证：FB＝FC；
(2)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，(1)证明： 因为AD平分∠EAC，
BC＝6 cm，求AD的长．