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2009高考数学解答题专题攻略----数列
一、08高考真题精典回顾： 1.（全国一22）．（本小题满分12分）
设函数f(x)?x?xlnx．数列?an?满足0?a1?1，an?1?f(an)． （Ⅰ）证明：函数f(x)在区间(0，1)是增函数； （Ⅱ）证明：an?an?1?1； （Ⅲ）设b?(a1，1)，整数k≥a1?b．证明：ak?1?b． a1lnb解析：（Ⅰ）证明：f(x)?x?xlnx，f'?x???lnx,当x??0,1?时，f'?x???lnx?0 故函数f?x?在区间(0,1)上是增函数；
（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，0?a1?1，a1lna1?0，
a2?f(a1)?a1?a1lna1?a1
1)是增函数，且函数f(x)在x?1处连续，则f(x)在区间(0，1]是增函由函数f(x)在区间(0，数，a2?f(a1)?a1?a1lna1?1，即a1?a2?1成立；
（ⅱ）假设当x?k(k?N*)时，ak?ak?1?1成立，即0?a1≤ak?ak?1?1 那么当n?k?1时，由f(x)在区间(0，1]是增函数，0?a1≤ak?ak?1?1得
f(ak)?f(ak?1)?f(1).而an?1?f(an)，则ak?1?f(ak),ak?2?f(ak?1)，
ak?1?ak?2?1，也就是说当n?k?1时，an?an?1?1也成立；
根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数n，an?an?1?1恒成立. （Ⅲ）证明：由f(x)?x?xlnx．an?1?f(an)可得
a?b?a?b?alna?a1?b??ailnai k?1kkki?1k1.若存在某i≤k满足ai≤b，则由⑵知：ak?1?b?ai?b≥0
?b?a?b?alna2.若对任意i≤k都有ai?b，则a k?1kkkwww.ks5u.com 版权所有@高考资源网
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a?b?kalnb?a1?b??ailnai?a1?b??ailnb?a1?b?(?ai)lnb?11i?1i?1i?1kkk?a?b?kalnb?a?b?(a?b)?0，即ak?1?b成立. 11112.（全国二20）．（本小题满分12分）
设数列?an?的前n项和为Sn．已知a1?a，an?1?Sn?3n，n?N．
*（Ⅰ）设bn?Sn?3n，求数列?bn?的通项公式； （Ⅱ）若an?1≥an，n?N，求a的取值范围．
*解：（Ⅰ）依题意，Sn?1?Sn?an?1?Sn?3n，即Sn?1?2Sn?3n，
由此得Sn?1?3n?1?2(Sn?3n)． ······························································································ 4分 因此，所求通项公式为
················································································· 6分 bn?Sn?3n?(a?3)2n?1，n?N*．① ·（Ⅱ）由①知Sn?3n?(a?3)2n?1，n?N， 于是，当n≥2时，
*an?Sn?Sn?1
?3n?(a?3)?2n?1?3n?1?(a?3)?2n?2 ?2?3n?1?(a?3)2n?2，
an?1?an?4?3n?1?(a?3)2n?2
n?2??3??n?2?2?12????a?3?，
????2??当n≥2时，
?3?an?1≥an?12????2??a≥?9．
又a2?a1?3?a1．
n?2?a?3≥0
综上，所求的a的取值范围是??9，··········································································· 12分 ???． ·
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3.（四川卷20）．（本小题满分12分）
设数列?an?的前n项和为Sn，已知ban?2??b?1?Sn
nn?1（Ⅰ）证明：当b?2时，an?n?2是等比数列；
??（Ⅱ）求?an?的通项公式 解：由题意知a1?2，且
ban?2n??b?1?Sn ban?1?2n?1??b?1?Sn?1
两式相减得b?an?1?an??2??b?1?an?1
n即an?1?ban?2n ①
（Ⅰ）当b?2时，由①知an?1?2an?2n 于是an?1??n?1??2?2an?2??n?1??2
nnn?2?an?n?2n?1?
n?1又a1?1?2n?1?1?0，所以an?n?2是首项为1，公比为2的等比数列。
??（Ⅱ）当b?2时，由（Ⅰ）知an?n?2n?1?2n?1，即an??n?1?2 当b?2时，由由①得
n?1
an?1?11?2n?1?ban?2n??2n?1 2?b2?bb?ban??2n
2?b1???b?an??2n?
2?b??因此an?1?11???2n?1??b?an??2n? 2?b2?b???2?1?b?n?b 2?bn?1?2?得an??1 nn?1?2??2?2b?b?n?2???2?b?www.ks5u.com 版权所有@高考资源网
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二、09高考数列分析与预测：
数列是高中数学的重要内容之一，也是高考考查的重点。而且往往还以解答题的形式出现，所以我们在复习时应给予重视。近几年的高考数列试题不仅考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础知识、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了学生的各种能力。解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目. 有关数列题的命题趋势
（1）有关数列的基本问题，这类题围绕等差、等比数列的基本知识、基本公式、基本性质命题，难度不大，考生应注意基本方法的训练，灵活运用相关性质。
（2）数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点
（3）数列推理题是新出现的命题热点.以往高考常使用主体几何题来考查逻辑推理能力，近两年在数列题中也加强了推理能力的考查。
（4）与导数、平面向量、概率等新知识相结合也不可忽视。 复习关键点：
(1)理解数列的概念，特别注意递推数列，熟练掌握等差数列、等比数列的性质、公式及公式的延伸，应用性质解题，往往可以回避求首项和公差或公比，使问题得到整体解决，能够减少运算量，应引起考生重视。
(2)解决数列综合问题要注意函数思想、分类论思想、等价转化思想等。注重数列与函数、方程、不等式、解析几何等其他知识的综合。 (3)重视递推数列和数列推理题的复习。
(4)数列应用题注意增长率、银行信贷、养老保险、环保、土地资源等，首先要分析题意，建立数列模型，再利用数列知识加以解决。
不管数列与哪一部分知识内容交汇，数列自身的内容仍是考生重点掌握的。对数列自身来讲，主要有以下体型：
一、求数列的通项公式，主要方法有：（1）利用an与Sn的关系an?Sn?Sn?1(n?2) （2）利用递推关系包括累加法，累乘法，构造数列
二、求数列的前n项和，主要方法有：（1）倒序相加法（2）错位相减法（3）裂项法（4）分组法
三、判断一个数列是等比或等差数列，完全依据等差、等比数列的定义进行证明。 这是解决好数列问题的重中之重. 三、高考热点新题： 1.设Sn是正项数列
?an?的前n项和，且Sn?1213an?an?． 424www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 - 4 -
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?an?的通项公式；
n?1?2对一切正（2）是否存在等比数列?bn?，使a1b1?a2b2???anbn??2n?1??2（1）求数列
整数都成立？并证明你的结论． （3）设
2.已知数列{an},{bn}满足关系：
cn?11*n?N，且数列的前项和为，试比较与的大小． TTcn????nnn1?an6a?aa21a1?2a,an?1?(an?)， bn?n(n?N*,a?0).
2anan?a（1）求证：数列{lgbn}是等比数列； （2）证明：
n?1an?a?32?1；
an?1?a（3）设Sn是数列{an}的前n项和，当n?2时，Sn与(n?)a是否有确定的大小关系？若有，加以证明；若没有，请说明理由。
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