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3.已知正项数列?an?满足对一切n?N?3332,有a1，其中?a2???an?SnSn?a1?a2???an.
(Ⅰ)求数列?an?的通项公式; (Ⅱ) 求证: 当n?N时, anln(1?
4．某企业2008年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若
不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+
*1)?ln3. an1)万元（n为正整数）. 2n（1）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；
（2）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
5.已知数列?an?满足：a1?54a?1，且an?n?12an?1?2(n?2,n?N?)
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（1）设bn?1，证明数列?bn?是等差数列； an?1（2）求数列?bn?、?an?的通项公式；
（3）设cn?an?an?1，Sn为数列?cn?的前n项和，证明Sn?n?6(1?lnn).
6.设等差数列{an},{bn}前n项和Sn,Tn满足
SnAn?1a3a2，且??7?，S2=6；函数
Tn2n?7b4?b6b2?b851?x?1?，且cn?g(cn?1)(n?N,n?1),c1?1. 2（1）求A；
（2）求数列{an}及{cn}的通项公式； g(x)?（3）若dn??
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?an(n为奇数),试求d1?d2???dn.
?cn(n为偶数)高考资源网（ks5u.com） 您身边的高考专家
四、高考热点新题参考答案：
12131解：（1）Sn?an?an?得
4241213Sn?1?an?1?an?1?，相减并整理为?an?1?an??an?1?an?2??0
424又由于an?1?an?0，则an?1?an?2，故?an?是等差数列．
1213?a1?S1?a1?a1??0，?a1?3，故an?2n?1
424（2）当n?1，2时，a1b1?22?2?1?1??2?6，a1b1?a2b2?23?2?2?1??2?26
可解得，b1n，猜想bn?2使 ?2，b2?4，a1b1?a2b2???anbn?2n?1?2n?1??2成立
2
下面证明3?2?5?2令S?7?23????2n?1?2n?2n?1?2n?1??2恒成立
?3?2?5?22?7?23????2n?1?2n ①
2S?3?22?5?23?7?24????2n?1?2n?1 ② ②－①可得
?S??2n?1?2n?1?2?2n?1?2??2n?1?2n?1?2
111?11?（3）Cn?????? 2?2n?2??2n?1??2n?3?2?2n?12n?3?1?111111??则Tn?c1?c2???cn?????????
2?35572n?12n?3?1?11?11?????，故Tn? 2?32n?3?66说明：本题主要考查数列通项公式的求法，数列和的求法以及不等式的内容。涉及运算能力，逻辑思维能力，猜想能力等。
a?a1a22解：（1）?an?1?(an?),bn?n
2anan?aan?1?a(an?a)22?bn?1???bn?0 2an?1?a(an?a)?lgbn?1?2lnbn ?a?0 ?bn??an?a?1 an?algbn?1?2 故{lgbn}是等比数列。 lgbnn?1a1?a?3 ?lgbn?lg3?2n?1 ?bn?32 a1?an?1（2）b1?an?abn?132?12a由bn?及：an? ?a?2n?1?a?a?2n?1an?abn?13?13?1an?a32?1(32)2?12n?1??n?1?2n?1?3?1 an?1?a32?13?1www.ks5u.com 版权所有@高考资源网
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32111?a3?a?(a2?a),a4?a?(a3?a),?,an?a?(an?1?a)
1010101[Sn?1?a?(n?2)a] 相加得：Sn?a1?a2?(n?1)a?105a65?a1?2a,a2?a?10(n?2)?Sn?an?2a?(n?2)a ?10Sn?422n?1613?1251234?Sn?[(n?2)??]a?(n??)a?(n?)a?(n?)a n?12189(3?1)1891834故n?2时，Sn?(n?)a.
33解：(Ⅰ)对一切n?N有a?（3）当n?2时，an?1?a?an?an?11(an?a)
?110?3n?122??a??ai3?Sn?1?Sn，
3ii?1i?1n?1n33即 (Sn?1?Sn)(Sn?1?Sn)?an?1 , an?1(Sn?1?Sn)?an?1 ?2n?N () ?an?a?2S?1n?1n22由an?1?an?1?2Sn及an?an?2Sn?1(n?2)两式相减,
得: (an?1?an)(an?1?an)?an?1?an
?an?1?an?0?an?1?an?1,(n?2)
(n?1)
?n?1,2时,易得a1?1,a2?2,an?1?an?1*∴{an}是等差数列,且an?n,n?N . 说明:本小题也可以运用先猜后证(数学归纳法)的方法求解. (Ⅱ) 由
an?n,n?N*知aln(1?1)?ln3?nln(1?1)?ln3?ln(1?1)n?ln3,因
nannn1n)?3. n当n?1或n?2时,结论显然成立.当n?3时,
1111112kn(1?)n?1?Cn??Cn?2???Cn?k??Cn?n
nnnnn11112n?k?1112n?1?1?1?(1?)???(1?)(1?)?(1?)???(1?)(1?)?(1?)2!nk!nnnn!nnn11n[1?()]11111112?1?1????????1?1??2??n?2?2?3?()n?3
2!k!n!122221?2此,只需证明(1?www.ks5u.com 版权所有@高考资源网
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所以,原不等式成立.
4.本题主要考查等差数列与等比数列、函数性质等基础知识，考查运算求解能力和数据处理能力，考查函数与方程思想和应用意识.
解: (1)依题意知，数列An是一个以500为首项，－20为公差的等差数列，所以
An?480n?n(n?1)?(?20)?490n?10n2， 2111Bn?500(1?)?500(1?2)???500(1?n)?600
222111＝500n?500(?2???n)?600
22211[1?()n]22?600500n?500?100500n?500?＝＝ n121?25002(2)依题意得，Bn?An，即500n?n?100?490n?10n，
2502化简得n?n?n?10，
250?可设f(n)?n，g(n)?n2?n?10
2又?n?N?，?可设f(n)是减函数，g(n)是增函数，
5050?g(3)?2,f(4)??g(4)?8, 又f(3)?816则n?4时 不等式成立，即4年
答：略
5解：(1) an?1?3(an?1?1)a?2111,??n?1??
an?1?2an?13(an?1?1)an?1?1312?bn?bn?1?,b1?,??bn?为等差数列
331n?1n?4(2)由(1)bn?b1?(n?1)??,从而an?
33n?1(n?4)(n?5)n2?9n?20n?3(3)cn? ?2?1?6?2(n?1)(n?2)n?3n?2n?3n?2?cn?1?6(n?3)6111?1?S?n?6(1???...?)当n?1时,S1?5,不等式的左边,n2n?3nn23n111??...?) 23n=7,不等式成立
当n?2时, Sn?n?6(1?故只要证1?111??...??1?lnn(n?2), 23n如下用数学归纳法给予证明: ①当n?2时,ln2?12?ln?0,?n?2时,不等式成立; 2ewww.ks5u.com 版权所有@高考资源网
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