第18课 利用导数研究函数的最(极)值
【自主学习】
(本课时对应学生用书第45~47页)
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111. (选修2-2P31例2改编)函数f(x)=3x3-4x+3的极大值是 ，极小值是 . 17【答案】3 -5
【解析】f'(x)=x2-4，令f'(x)=0，解得x1=-2，x2=2.当x变化时，f(x)，f'(x)的变化情况如下表：
x f'(x) f(x) (-∞，-2) + ↗ f(-2)
-2 0 极大值 ↘ f(2) (-2，2) - 2 0 极小值 ↗ (2，+∞) + 17因此，当x=-2时，f(x)有极大值f(-2)=3；当x=2时，f(x)有极小值f(2)=-5.
2. (选修1-1P76练习2改编)已知函数f(x)=x3-x2-x+a，且f(x)的极小值为1，则f(x)的极大值为 .
59【答案】27
111【解析】f'(x)=3x2-2x-1，令f'(x)=0，则x=-3或x=1.当x<-3或x>1时，f'(x)>0；当-3 1f'(x)<0，所以当x=1时，f(x)取得极小值，当x=-3时，f(x)取得极大值.因为极小值是f(1)=a-1=1，?1?559?-?所以a=2，所以f(x)的极大值为f?3?=27+a=27. 13. (选修2-2P33例2改编)函数f(x)=2x+sin x在区间[0，2π]上的最大值为 . 【答案】π 12π4π【解析】f'(x)=2+cos x，x∈[0，2π].令f'(x)=0，解得x1=3，x2=3.当x变化时，f(x)，f'(x) 的变化情况如下表： x f'(x) f(x) 0 0 ?2??0,?3+ ↗ ??? 2?3 0 极大值 ?2?4??,??33? ?- ↘ 4?3 0 极小值 ?4??,2????3? + ↗ 2π π 1由上表可知，函数f(x)=2x+sin x在区间[0，2π]上的最大值为π. 4. (选修2-2P34习题8改编)函数y=x+sin x，x∈[0，2π]的值域为 . 【答案】[0，2π] 【解析】因为y'=1+cos x≥0，所以函数y=x+sin x在[0，2π]上是单调增函数，所以值域为[0，2π]. 5. (选修2-2P34习题7改编)若函数y=3x3-9x+a有两个零点，则实数a= . 【答案】±6 【解析】由y'=9x2-9>0，得x>1或x<-1，所以当x=1时，y极小值=a-6；当x=-1时，y极大值=a+6，所以a-6=0或a+6=0，所以a=±6. 1. 函数的极值 若在函数y=f(x)的定义域I内存在x0，使得在x0附近的所有点x，都有f(x) 2. 求函数极值的步骤 (1)求导数f'(x). (2)求方程f'(x)=0的所有实数根. (3)观察在每个根xn附近，从左到右，导函数f'(x)的符号如何变化，若f'(x)的符号由正变负，则f(xn)是极大值；若由负变正，则f(xn)是极小值；若f'(x)的符号在xn的两侧附近相同，则xn不是函数f(x)的极值点. 3. 函数的最值 若在函数f(x)的定义域I内存在x0，使得对于任意的x∈I，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数的最大值，记作ymax=f(x0)；若在函数f(x)的定义域I内存在x0，使得对于任意的x∈I，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数的最小值，记作ymin=f(x0). 4. 求函数y=f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤： (1)求f(x)在区间[a，b]上的极值； (2)将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到 f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值. 【要点导学】 要点导学 各个击破 利用导数研究函数的极值 例1 判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值；如果没有极值，请说 明理由. (1)y=8x3-12x2+6x+1； (2)y=1-(x-2). 【思维引导】本题主要应用函数极值的概念和求函数极值的方法求极值.解决本题的关键是先求出导数为零的点，再判断函数在该点的左右邻域的单调性是否相反. 2311【解答】(1)因为y'=24x2-24x+6，令y'=0，即24x2-24x+6=0，解得x=2，当x>2时，y'>0；1当x<2时，y'>0，所以此函数无极值. 21-3)3(2)当x≠2时，有y'=-(x-2.当x=2时，y'不存在，因此y'在x=2处不可导.但在x=2处的 左右邻域y'均存在，且函数y=f(x)在x=2处连续，故可依据y'在x=2的左右邻域的符号来判断函数在x=2处是否有极值.当x<2时，y'>0；当x>2时，y'<0.故y=f(x)在点x=2处取极大值，且极大值为f(2)=1；无极小值. 【精要点评】判断一个函数是否有极值，不能只求解y'=0，根据函数极值的定义，函数在某点处存在极值，则在该点的左右邻域应是单调的，并且单调性应相反.运用导数求可导函数y=f(x)的极值的步骤：(1)先求函数的定义域，再求函数y=f(x)的导数f'(x)；(2)求方程f'(x)=0的根；(3)检查f'(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值. 变式 已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R)，其中a∈R. (1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率； 2(2)当a≠3时，求函数f(x)的单调区间与极值. 【思维引导】(1)求出x=1的导数值即可；(2)利用导数的符号判断单调性，同时考虑极值点. 【解答】(1)当a=0时，f(x)=x2ex，f'(x)=(x2+2x)ex， 故f'(1)=3e，所以曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为3e. (2)f'(x)=[x2+(2+a)x-2a2+4a]ex， 令f'(x)=0，解得x=-2a或x=a-2. 2由a≠3知-2a≠a-2. 以下分两种情况讨论. 2①若a>3，则-2a x f'(x) f(x) (-∞，-2a) + ↗ -2a 0 极大值 所以f(x)在(-∞，-2a)和(a-2，+∞)上为增函数，在(-2a，a-2)上为减函数. 函数f(x)在x=-2a处取得极大值f(-2a)，且f(-2a)=3ae-2a； 函数f(x)在x=a-2处取得极小值f(a-2)，且f(a-2)=(4-3a)ea-2. (-2a，a-2) — ↘ a-2 0 极小值 (a-2，+∞) + ↗ 2②若a<3，则-2a>a-2，当x变化时，f(x)，f'(x)的变化情况如下表： x f'(x) f(x) (-∞，a-2) + ↗ a-2 0 极大值 所以f(x)在(-∞，a-2)，(-2a，+∞)上为增函数，在(a-2，-2a)上为减函数. 函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a)，且f(-2a)=3ae-2a； 函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2)，且f(a-2)=(4-3a)ea-2. 【精要点评】第(2)问中导数符号的判断，关键是看前面二次函数的符号，通过讨论两根大小后，列表判断f'(x)符号及f(x)的单调性，进而判断出极值点，求极值. (a-2，-2a) — ↘ -2a 0 极小值 (-2a，+∞) + ↗