?1??0，?当x∈?e?时，F'(x)<0，F(x)单调递减；
?1?，?????时，F'(x)>0，F(x)单调递增， 当x∈?e故F(x)在[a，2a]上的最大值为F(x)max=max{F(a)，F(2a)}.
1因为F(a)-F(2a)=ln a-2ln 2a=ln 4a，
1所以当04时，F(a)-F(2a)<0，F(x)max=F(2a)=2ln 2a.
x2x(3)问题等价于证明xln x>e-e(x∈(0，+∞))，由(2)可知f(x)=xln x(x∈(0，+∞))的最小11值为-e，当且仅当x=e时取得.
x21-x1xx设m(x)=e-e(x∈(0，+∞))，则m'(x)=e，易得m(x)max=m(1)=-e，当且仅当x=1时取
得.
12x所以f(x)>m(x)，从而对一切x∈(0，+∞)，都有ln x>e-ex成立.
1【精要点评】对第(2)问，因为函数不是二次函数，在x=e的两侧不对称，所以如果讨
论区间的位置则比较复杂；对第(3)问构造f(x)是解决问题的关键，如果直接移项构造一个新函数来证明，则相对比较复杂.
1.(2015·哈尔滨三中模拟)已知x=2是函数f(x)=x3-3ax+2的极小值点，那么函数f(x)的极大值
为 . 【答案】18
【解析】因为x=2是函数f(x)=x3-3ax+2的极小值点，即x=2是f'(x)=3x2-3a=0的根，代入x=2，得a=4，所以函数解析式为f(x)=x3-12x+2，则3x2-12=0，即x=±2，故函数在(-2，2)上是减函数，在(-∞，-2)，(2，+∞)上是增函数，由此可知当x=-2时，函数f(x)取得极大值f(-2)=18.
x2?a2.(2014·常州模拟)若函数f(x)=x?1在x=1处取得极值，则实数a= .
【答案】3
2x(x?1)-(x2?a)x2?2x-a3-a2(x?1)2【解析】f'(x)==(x?1)，由题意得f'(1)=0，即4=0，解得a=3.
3.(2015·全国卷)已知函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a，其中a<1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)<0，则实数a的取值范围是 .
?3?，1??2e? 【答案】?【解析】设g(x)=ex(2x-1)，y=ax-a，由题知存在唯一的整数x0，使得g(x0)在直线y=ax-a的下方.
111因为g'(x)=ex(2x+1)，所以当x<-2时，g'(x)<0；当x>-2时，g'(x)>0，所以当x=-2时，
g(x)min=-2e.
如图，当x=0时，g(0)=-1，当x=1时，g(1)=e>0，直线y=ax-a恒过点(1，0)且斜率为a，故-a>g(0)=-1，
-123且g(-1)=-3e-1≥-a-a，解得2e≤a<1.
(第3题)
m4.(2014·陕西卷)已知函数f(x)=ln x+x，m∈R.
(1)当m=e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；
x(2)讨论函数g(x)=f'(x)-3的零点个数.
ex-e2【解答】(1)当m=e时，f(x)=ln x+x，f'(x)=x，x∈(0，+∞).
当x∈(0，e)时，f'(x)<0， 所以f(x)在(0，e)上单调递减； 当x∈(e，+∞)时，f'(x)>0， 所以f(x)在(e，+∞)上单调递增. 所以当x=e时，f(x)取得极小值f(e)=2.
x1mx2(2)g(x)=f'(x)-3=x-x-3(x>0)， 1令g(x)=0，得m=-3x3+x(x>0). 1设φ(x)=-3x3+x(x≥0)，
则φ'(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1)，
当x∈(0，1)时，φ'(x)>0，φ(x)在(0，1)上单调递增. 当x∈(1，+∞)时，φ'(x)<0，φ(x)在(1，+∞)上单调递减， 所以x=1是φ(x)唯一的极大值点， 因此x=1也是φ(x)的最大值点，
2所以φ(x)的最大值为φ(1)=3.
又φ(0)=0，结合y=φ(x)的大致图象如图所示，由图可知：
(第4题)
2①当m>3时，函数g(x)无零点；
2②当m=3时，函数g(x)有且只有一个零点； 2③当0 ④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点. 22综上所述，当m>3时，函数g(x)无零点；当m=3或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；当20 5. (2016·苏北四市期中)已知函数f(x)=cos x+ax2-1，a∈R. (1)求证：函数f(x)是偶函数. (2)当a=1，求函数f(x)在[-π，π]上的最大值和最小值. 【解答】(1)函数f(x)的定义域为R， 因为f(-x)=cos(-x)+a(-x)2-1=cos x+ax2-1=f(x)， 所以函数f(x)是偶函数. (2)当a=1时，f(x)=cos x+x2-1， 则f'(x)=-sin x+2x， 令g(x)=f'(x)=-sin x+2x，则g'(x)=-cos x+2>0，所以f'(x)是增函数. 又f'(0)=0，所以f'(x)≥0， 所以f(x)在[0，π]上是增函数. 又函数f(x)是偶函数， 故函数f(x)在[-π，π]上的最大值为π2-2，最小值为0. 趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第35~36页. 【检测与评估】 第18课 利用导数研究函数的最(极)值 一、 填空题 a1．已知函数f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10，那么b= . 2．已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9，且f(x)在x=-3处取得极值，那么实数a= . 3．(2015·陕西卷)函数f(x)=xex的图象在其极值点处的切线方程为 . 4．若函数f(x)=-x3+mx2+1(m≠0)在(0，2)内的极大值为最大值，则实数m的取值范围是 . 5．已知函数f(x)=x3-ax2+3ax+1在区间(-∞，+∞)内既有极大值，又有极小值，则实数a的取值范围是 . 176．已知函数f(x)=3x3+a2x2+ax+b，且当x=-1时，函数f(x)的极值为-12，那么f(2)= . 14227．(2015·中华中学模拟)函数y=sinx+cosx?1(x∈(0，π))的最小值为 . e2x2?1e2xx，g(x)=ex，对任意的x1，x2∈(0，+∞)，不等式8．(2014·厦门模拟)已知函数f(x)=