解：（1）f(x)?13x?x.…………………………5分
3 （2）?0,0?,?2,?????2?2?或0,0,?2,.…………10分 ????????3?3??43.……15分
（3）用导数求最值，可证得f(xn)?f(yn)?f(?1)?f(1)?5．（本小题满分13分）
设M是椭圆C:x212?y24?1上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点，N为椭
圆C上异于M的另一点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程．
解：设点的坐标M(x1,y1),N(x2,y2)(x1y1?0),E(x,y),
则P(?x1,y1),Q(?x1,?y1),T(x1,?y1),……1分
2?x12y1??1,????(1)??124 ?2………………………………………………………3分 2?x2?y2?1.????(2)??124 由（1）－（2）可得kMN?kQN??13.………………………………6分
又MN⊥MQ，kMN?kMQ??1,kMN??y13x1x1y1,所以kQN?y13x1.
直线QN的方程为y?1212(x?x1)?y1，又直线PT的方程为y??x1y1x.……10分
从而得x?x1,y??y1.所以x1?2x,y1??2y.
代入（1）可得
x23?y?1(xy?0),此即为所求的轨迹方程.………………13分
26．（本小题满分12分）
2过抛物线x?4y上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，PA?PB?0.
（1）求点P的轨迹方程；
（2）已知点F（0，1），是否存在实数?使得FA?FB??(FP)?0？若存在，求出?的值，若不存在，请说明理由. 解法（一）：（1）设A(x1,x1422),B(x2,x242),(x1?x2)
由x2?4y,得：y'??kPA?x12,kPB?x22x2
?PA?PB?0,?PA?PB,?x1x2??4………………………………3分
直线PA的方程是：y?x142?x12(x?x1)即y?2x1x2?x142 ①
同理，直线PB的方程是：y?x2x2?x24 ②
x1?x2?x??2(x1,x2?R) 由①②得：?x1x2?y???1,4?∴点P的轨迹方程是y??1(x?R).……………………………………6分
x142（2）由（1）得：FA?(x1,x1?x22?1),FB?(x2,x242?1),P(x1?x22,?1)
FP?(,?2),x1x2??4
2222FA?FB?x1x2?(x142?1)(x242?1)??2?x1?x24 …………………………10分
(FP)?2(x1?x2)4?4?x1?x242?2
所以FA?FB?(FP)2?0
故存在?=1使得FA?FB??(FP)2?0…………………………………………12分 解法（二）：（1）∵直线PA、PB与抛物线相切，且PA?PB?0, ∴直线PA、PB的斜率均存在且不为0，且PA?PB, 设PA的直线方程是y?kx?m(k,m?R,k?0)
?y?kx?m?x?4y2由?2得：x?4kx?4m?0
2???16k?16m?0即m??k…………………………3分
2即直线PA的方程是：y?kx?k 同理可得直线PB的方程是：y??1kx?1k22
1?y?kx?k2???x?k??R由? 11得：?ky??x?2??y??1?kk?故点P的轨迹方程是y??1(x?R).……………………………………6分 （2）由（1）得：A(2k,k2),B(?FA?(2k,kFP?(k?1k22kk?1)
,1),P(k?21k,?1)
?1),FB?(?2kk,12,?2)
2FA?FB??4?(k?1)((FP)?(21k2?1)??2?(k?221k2)………………………………10分
1k?k)?4?2?(k?21k2)
故存在?=1使得FA?FB??(FP)2?0…………………………………………12分 7．（本小题满分14分）
设函数f(x)?1?xax?lnx在[1,??)上是增函数.
（1） 求正实数a的取值范围； （2） 设b?0,a?1，求证：解：（1）f(x)??a?1x'1a?b?lna?bb?a?bb.
ax?1ax2?0对x?[1,??)恒成立，
对x?[1,??)恒成立
又
1x?1 ?a?1为所求.…………………………4分
a?bb（2）取x?，?a?1,b?0,?1?xaxa?bb?1，
一方面，由（1）知f(x)??f(a?bb)?f(1)?0
?lnx在[1,??)上是增函数，
b?lna?b?0 a?bba?ba?b1?即ln……………………………………8分 ba?b?1?a?b另一方面，设函数G(x)?x?lnx(x?1)
G(x)?1?'1x?x?1x?0(?x?1)
∴G(x)在(1,??)上是增函数且在x?x0处连续，又G(1)?1?0
∴当x?1时，G(x)?G(1)?0 ∴x?lnx 即综上所述，
1a?b?lna?bba?bb?ln?a?bba?bb
.………………………………………………14分
8．(本小题满分12分)
如图，直角坐标系xOy中，一直角三角形ABC，?C?90?，
ByA、C在x轴上且关于原点O对称，D在边BC上，BD?3DC，
的周长为12．若一双曲线E以B、C为焦点，且经过A、
BODCx!ABCD
两点．
(1) 求双曲线E的方程；
(2) 若一过点P(m,0)（m为非零常数）的直线l与双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且
?????????????BC?(GM??GN)????????MP??PN，问在x轴上是否存在定点G，使
？若存在，求出所有这样定点G的坐标；若不存在，请说明理由．
xa22解：(1) 设双曲线E的方程为
?yb22?1(a?0,b?0)，
yA则B(?c,0),D(a,0),C(c,0)．
由BD?3DC，得c?a?3(c?a)，即c?2a．
?|AB|?|AC|?16a,?∴?|AB|?|AC|?12?4a, ?|AB|?|AC|?2a.?222BODCx （3分）
解之得a?1，∴c?2,b?3． ∴双曲线E的方程为x?2y23?1． （5分）
．
y?????????????(2) 设在x轴上存在定点G(t,0)，使BC?(GM??GN)设直线l的方程为x?m?ky，M(x1,y1),N(x2,y2)． 由MP??PN，得y1??y2?0． 即???y1y2B????????GO ① （6分）
CPNx????∵BC?(4,0)，
M?????????GM??GN?(x1?t??x2??t,y1??y2)， ?????????????∴BC?(GM??GN)?x1?t??(x2?t)．
即ky1?m?t??(ky2?m?t)． ② 把①代入②，得
2ky1y2?(m?t)(y1?y2)?0
（8分）
③ （9分）
把x?m?ky代入x?2y23?1并整理得
2(3k?1)y?6kmy?3(m?1)?0
22其中3k2?1?0且??0，即k2? y1?y2??6km3k?12213且3k2?m2?1． ．
（10分）
,yy?123(m?1)3k?12代入③，得
6k(m?1)3k?122?6km(m?t)3k?12?0，
化简得 kmt?k． 当t?1m时，上式恒成立．
1m?????????????,0)，使BC?(GM??GN)因此，在x轴上存在定点G(9．(本小题满分14分)
． （12分）
已知数列?an?各项均不为0，其前n项和为Sn，且对任意n?N*都有(1?p)Sn?p?pan（p为大于1的常数），记f(n)?1?Cna1?Cna2???Cnan2Snn12n．
(1) 求an；
(2) 试比较f(n?1)与
p?12pf(n)的大小（n?N*）；
?p?1?p?1??1???p?1?2p???2n?1(3) 求证：(2n?1)f(n)剟f(1)?f(2)???f(2n?1)?（n?N*）． ?，??解：(1) ∵(1?p)Sn?p?pan，
①
②
∴(1?p)Sn?1?p?pan?1． ②－①，得
(1?p)an?1??pan?1?pan，
即an?1?pan．
（3分）
在①中令n?1，可得a1?p．
∴?an?是首项为a1?p，公比为p的等比数列，an?pn．
（4分）