(2) 由(1)可得Sn?p(1?p)1?pn?p(p?1)p?1n．
12n122nnnn1?Cna1?Cna2???Cnan?1?pCn?pCn???Cnp?(1?p)?(p?1)．
∴f(n)?1?Cna1?Cna2???Cnan2Snp?1p?(p?1)2n?1n?112nn?p?1p?(p?1)nnn2(p?1)， （5分）
f(n?1)?(pn?1n?1?1)n?1．
，且p?1，
而
p?12pf(n)?p?1p?(p?1)2(pn?1?p)∴pn?1?1?pn?1?p?0，p?1?0． ∴f(n?1)?p?12p2pf(n)，（n?N*）．
p?12p
f(n)p?12p （8分）
(3) 由(2)知 f(1)?p?1，f(n?1)?p?12p，（n?N*）．
)f(n?2)???(22∴当n…2时，f(n)?f(n?1)?(p?12p2n?1)n?1f(1)?(p?12p)n．
∴f(1)?f(2)???f(2n?1)?p?1?p?1??p?1?????????2p?2p??2p?2n?1
?p?1?p?1???1???p?1?2p?????， ?? （10分）
（当且仅当n?1时取等号）．
另一方面，当n…2，k?1,2,?,2n?1时，
k2n?k?p?1?(p?1)(p?1)f(k)?f(2n?k)???kk? 2n?k2n?kp?2(p?1)2(p?1)?…p?1p?2?2n?k2n?k kk2(p?1)2(p?1)nk(p?1)k(p?1)2n?kp?12(p?1)??np21(p?1)(p2n?k?1) p?12(p?1)??np2n1p2n?p?pk2n?k?1．
∵pk?p2n?k…2pn，∴p2n?pk?p2n?k?1?p2n?2pn?1?(pn?1)2． ∴f(k)?f(2n?k)…2n?1p?1p?2(p?1)nnn2(p?1)?2f(n)2n?1，（当且仅当k?n时取等号）．（13分）
．（当且仅当n?1时取等号）．
∴?f(k)?k?1122n?1?[f(k)?k?1f(2n?k)]…?f(n)?(2n?1)f(n)k?1综上所述，(2n?1)f(n)剟?f(k)k?12n?1?p?1?p?1??1???p?1?2p???2n?1?（n?N*）．（14分） ?，??备战2010高考数学――压轴题跟踪演练系列三
1．（本小题满分13分） 如图，已知双曲线C：
xa22?yb22?1(a?0，b?0)的右准线l1与一
条渐近线l2交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点. ?? （I）求证：OM?MF；
? （II）若|MF|?1且双曲线C的离心率e?62，求双曲线C的方程；
（III）在（II）的条件下，直线l3过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、??Q之间，满足AP??AQ，试判断?的范围，并用代数方法给出证明.
解：（I）?右准线l1：x?2a2c，渐近线l2：y?bax
2?aab ?M(，)，?F(c，0)，c?a?b，?OM?(，)
ccccaab22222?aabbab MF?(c?，?)?(，?)
cccc2222??abab??0 ?OM?MF?22cc???OM?MF
……3分
（II）?e?62，?ba?e?1?222，?a?2b
22422222?babb(b?a)?|MF|?1，?2??1，??122 ccc?b?1，a?122?双曲线C的方程为：
x22?y?1
2
……7分 ……8分
（III）由题意可得0???1
证明：设l3：y?kx?1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2) ?x2?2y2?222 由?得(1?2k)x?4kx?4?0
?y?kx?1 ?l3与双曲线C右支交于不同的两点P、Q
?1?2k2?0?22???16k?16(1?2k)?0? ??x?x?4k?01221?2k??4?0?x1x2??21?2k??2k???2??2??k?1 ?k?0?2??1?2k?0 ??1?k??22 ……11分
?? ?AP??AQ，?(x1，y1?1)??(x2，y2?1)，得x1??x2
?(1??)x2?4k1?2k16k222，?x2???4k2241?2k22
?(1??)2???4(1?2k)222k?1?2?22k?1(1??)2
2 ??1?k??，?0?2k?1?1，?2??4
?(1??)2?4????2??1?0
2??的取值范围是（0，1） ……13分
2．（本小题满分13分）
(x?0)?0已知函数f(x)???n[x?(n?1)]?f(n?1)(n?1?x?n，n?N*)，
数列{an}满足an?f(n)(n?N*) （I）求数列{an}的通项公式；
（II）设x轴、直线x?a与函数y?f(x)的图象所围成的封闭图形的面积为S(a)(a?0)，求
S(n)?S(n?1)(n?N*)；
（III）在集合M?{N|N?2k，k?Z，且1000?k?1500}中，是否存在正整数N，使得不等式
an?1005?S(n)?S(n?1)对一切n?N恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足
条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由.
（IV）请构造一个与{an}有关的数列{bn}，使得lim(b1?b2???bn)存在，并求出这个极限值.
n??解：（I）?n?N*
?f(n)?n[n?(n?1)]?f(n?1)?n?f(n?1) ?f(n)?f(n?1)?n
……1分
?f(1)?f(0)?1 f(2)?f(1)?2
f(3)?f(2)?3 …… 将这n个式子相加，得 f(n)?f(0)?1?2?3???n??f(0)?0n(n?1)2
?f(n)?n(n?1) 2(n?N*)
?an?n(n?1)2 ……3分
（II）S(n)?S(n?1)为一直角梯形（n?1时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为f(n?1)，f(n)，高为1
?S(n)?S(n?1)?f(n?1)?f(n)2?1?an?1?an22
1n(n?1)n(n?1)n?]? ?[
2222 ……6分
（III）设满足条件的正整数N存在，则
n(n?1)2?1005?n22?n2?1005?n?2010
又M?{2000，2002，?，2008，2010，2012，?，2998} ?N?2010，2012，……，2998均满足条件 它们构成首项为2010，公差为2的等差数列.
设共有m个满足条件的正整数N，则2010?2(m?1)?2998，解得m?495 ?M中满足条件的正整数N存在，共有495个，Nmin?2010 （IV）设bn?1an……9分
，即bn?2n(n?1))?(12??2(131n?131n?114)
1n1n?11n?1 则b1?b2???bn?2[(1?12)?(?)???(?)]?2(1?)
显然，其极限存在，并且lim(b1?b2???bn)?lim[2?n??n??1n?1]?2 ……10分
注：bn?can（c为非零常数），bn?()212ann?12an，bn?qn?1(0?|q|?1)等都能使lim(b1?b2???bn)n??存在.
19. （本小题满分14分） 设双曲线
ya22?x23?1的两个焦点分别为F1、F2，离心率为2.
（I）求此双曲线的渐近线l1、l2的方程；
（II）若A、B分别为l1、l2上的点，且2|AB|?5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；
??（III）过点N(1，0)能否作出直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，且OP·OQ?0.若存在，求
出直线l的方程；若不存在，说明理由. 解：（I）?e?2，?c2?4a2 ?c2?a2?3，?a?1，c?2
x2 ?双曲线方程为y?23?1，渐近线方程为y??33x 4分
（II）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M?x，y?
?2|AB|?5|F1F2|?|AB|??52|F1F2|?252?2c?102(x1?x2)?(y1?y2)33x1，y2??3333?10x2，2x?x1?x2，2y?y1?y233(x1?x2)
又y1?
?y1?y2?(x1?x2)，y1?y2???3(y1?y2)?2?3???(x1?x2)??3?22?10 ?3(2y)?213(2x)?100，即x275?3y225?1
则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为103，短轴长为 （III）假设存在满足条件的直线l
设l：y?k(x?1)，l与双曲线交于P(x1，y1)、Q(x2，y2)
1033的椭圆.（9分）