???OP·OQ?0
?x1x2?y1y2?0?x1x2?k(x1?1)(x2?1)?0?x1x2?k22 (i)?x1x2?(x1?x2)?1??0?y?k(x?1)?2222由?得(3k?1)x?6kx?3k?3?0x2y??1? 3?则x1?x2?6k223k?1，x1x2?3k?33k?122(ii) 由（i）（ii）得k2?3?0
∴k不存在，即不存在满足条件的直线l. 3. （本小题满分13分）
已知数列?an?的前n项和为Sn(n?N*)，且Sn?(m?1)?man对任意自然数都成立，其中m为常数，且m??1.
（I）求证数列?an?是等比数列；
（II）设数列?an?的公比q?f(m)，数列?bn?满足：b1?13a1，bn?f(bn?1)
14分
*(n?2，n?N)，试问当m为何值时，limbn(lgan)?lim3(b1b2?b2b3?b3b4?
n??n??…?bn?1bn)成立？
解：（I）由已知Sn?1?(m?1)?man?1 Sn?(m?1)?man （2）
(1)
由(1)?(2)得：an?1?man?man?1，即(m?1)an?1?man对任意n?N*都成立
?m为常数，且m??1 ?an?1an?mm?15分
即?an?为等比数列 （II）当n?1时，a1?(m?1)?ma1
?a1?1，从而b1?13mm?1(n?2，n?N)* 由（I）知q?f(m)??bn?f(bn?1)?bn?1
bn?1?1?1bn?1?1bn?1，即1bn?1bn?1?1?1? ???为等差数列?bn??1bn?3?(n?1)?n?2，bn?n?1
1n?2(n?N)*9分?m? ?an????m?1?
n?1mm?limbn(lgan)?lim·lg?lgn??n??n?2m?1m?1 lim3(b1b2?b2b3?…?bn?1bn)n??11??1111?lim3?????…????1n???3445n?1n?2?
由题意知lgmm?1?1，?mm?1?10，?m??109 13分
4．（本小题满分12分） 设椭圆
xa22?yb22上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆和?1(a?b?0)的左焦点为F，
x轴正半轴于P，Q两点，且P分向量AQ所成的比为8∶5．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若过A,Q,F三点的圆恰好与直线l：x?解：（1）设点Q(x0,0),F(?c,0),其中c?由P分AQ所成的比为8∶5，得P(813x0a23y?3?0相切，求椭圆方程．
2a?b,A(0,b)．
513b)， 2分
2813x0,∴()22?(513)?1?x0?232a．①， 4分
而FA?(c,b),AQ?(x0,?b),FA?AQ， ∴FA?AQ?0．?cx0?b?0,x0?2222b2c．②， 5分
由①②知2b?3ac,?2c?3ac?2a?0． ∴2e?3e?2?0.?e?212． 6分 b?c2c22（2）满足条件的圆心为O?(,0)，
b?c2c22?a?c?c2cb2222?c,?O?(c,0)， 8分
圆半径r?c?22?a22c?a． 10分
|c?3|2由圆与直线l：x?3y?3?0相切得，?a，
又a?2c,?c?1,a?2,b?5．（本小题满分14分）
3．∴椭圆方程为
x24?y23?1． 12分
（理）给定正整数n和正数b，对于满足条件a1?an?1?b的所有无穷等差数列?an?，试求
y?an?1?an?2???a2n?1的最大值，并求出y取最大值时?an?的首项和公差．
2（文）给定正整数n和正数b，对于满足条件a1?an?1?b的所有无穷等差数列?an?，试求
y?an?1?an?2???a2n?1的最大值，并求出y取最大值时?an?的首项和公差．
2（理）解：设?an?公差为d，则an?1?a1?nd,nd?an?1?a1． 3分 y?an?1?an?2???a2n?1?an?1?(an?1?d)???(an?1?nd) ?(n?1)an?1?(1?2???n)d?(n?1)an?1?n(n?1)2d 4分
?(n?1)(an?1??n?12nd2)?(n?1)(an?1?an?1?a12)
(3an?1?a1)． 7分
22又a1?an?1?b,??a1??b?an?1． ∴3an?1?a1??an?1?3an?1?b??(an?1?232)?29?4b4?9?4b4，当且仅当an?1?32时，等号成
立． 11分
∴y?n?12(3an?1?a1)?9(n?1)(9?4b)8． 13分
时，y?(n?1)(9?4b)8当数列?an?首项a1?b?∴y的最大值为
4(n?1)(9?4b)8，公差d??4b?34n，
． 14分
（文）解：设?an?公差为d，则an?1?a1?nd,nd?an?1?a1． 3分
y?an?1?an?2???a2n?1?an?1(an?1?d)???(an?1?nd)?(n?1)an?1?(1?2???n)d?(n?1)an?1?n(n?1)2d?(n?1)(an?1?nd2)
?(n?1)(an?1?2an?1?a12)?n?12(3an?1?a1)， 6分
2又a1?an?1?b,??a1??b?an?1． ∴3an?1?a1??an?1?3an?1?b??(an?1?当且仅当an?1?∴y?n?1232232)?29?4b4?9?4b4．
时，等号成立． 11分
(n?1)(9?4b)8(3an?1?a1)?9． 13分
时，y?(n?1)(9?4b)8当数列?an?首项a1?b?∴y的最大值为
4(n?1)(9?4b)8，公差d??4b?34n．
． 14分
6．（本小题满分12分）
垂直于x轴的直线交双曲线x2?2y2?2于M、N不同两点，A1、A2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A1M与A2N交于点P（x0，y0）
22（Ⅰ）证明：x0?2y0为定值;
（Ⅱ）过P作斜率为?x02y0的直线l，原点到直线l的距离为d，求d的最小值.
解（Ⅰ）证明：设M(x1,?y1),则N(x1,?y1),?A1(?2,0),A2(2,0)
?直线A1M的方程为y?y1x1??y1x1?22(x?2) ①
直线A2N的方程为y?22(x?2) ②……4分
①×②，得y?2?y12x1?22(x?2)
?x1?2y1?2,?y22??12(x?2),即x?2y222?2?P(x0,y0)是直线A1M与A2N的交点?x0?2y0?2为定值??8分22
（Ⅱ）l的方程为y?y0??x02y022(x?x0),结合x0?2y0?2整理得x0x?2y0y?2?0
于是d?2x?4y2020?22?2y220?21?y022……10分
?x0?2y0?222?y0?1?1?y0?2?d?21?y02?1
2当y0??1时,y0?1,d取最小值1……12分
7．（本小题满分14分） 已知函数f(x)?x?sinx
（Ⅰ）若x?[0,?],试求函数f(x)的值域; （Ⅱ）若x?[0,?],??(0,?),求证:2f(?)?f(x)3?f(2??x3);
与f(2??x3)的大小关系
（Ⅲ）若x?[k?,(k?1)?],??(k?,(k?1)?),k?Z,猜想（不必写出比较过程）.
2f(?)?f(x)3解：（Ⅰ）当x?(0,?)时,f?(x)?1?cosx?0,?f(x)为增函数
又f(x)在区间[0,?]上连续 所以f(0)?f(x)?f(?),求得0?f(x)??
即f(x)的值域为[0,?]??4分（Ⅱ）设g(x)??g?(x)?132f(?)?f(x)3(?cosx?cos?f(2??x3)，即g(x)??2f(?)?sinx3?sin2??x3
2??x3)……6分
?x?[0,?],??(0,?)?2??x3?(0,?)
由g?(x)?0,得x???当x?(0,?)时,g?(x)?0,g(x)为减函数.当x?(?,?)时,g?(x)?0,g(x)为增函数??8分 ?g(x)在区间[0,?]上连续则g(?)为g(x)的最小值对x?[0,?]有g(x)?g(?)?0因而2f(?)?f(x)3?f(2??x3)?10分2f(?)?f(x)33?f(2??x3)
（Ⅲ）在题设条件下，当k为偶数时当k为奇数时
2f(?)?f(x)3?f(2??x)……14分