安徽高中数学 http://sx.ahjxzx.com 光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2．已知BC?F1F2，F1B?2.8cm，
F1F2?4.5cm．建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程．
x2y2解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为2?2?1，算出a,b,c的值；此题
ab应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于a,b,c的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．
引申：如图所示， “神舟”截人飞船发射升空，进入预定道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭近地点A距地面200km，远地点B距地面350km，已知地球半径R?6371km．建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹程．
例6如图，设M?x,y?与定点F?4,0?的距离和它到直线l：
轨圆，的
方
x?254的距离的比是常数，求点M的轨迹方程． 45分析：若设点M?x,y?，则MF?则容易得点M的轨迹方程．
?x?4??y2，到直线l：x?22525的距离d?x?，
44引申：（用《几何画板》探究）若点M?x,y?与定点F?c,0?的距离则点Ma2c和它到定直线l：x?的距离比是常数e??a?c?0?，
caa2的轨迹方程是椭圆．其中定点F?c,0?是焦点，定直线l：x?相应于F的准线；由椭圆的对称
ca2性，另一焦点F???c,0?，相应于F?的准线l?：x??．
c◆ 情感、态度与价值观目标
在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新．必须让学生认同和掌握：椭圆的简单几何性质，能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的范围、对称性、顶点和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．
◆能力目标
（1） 分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解决
问题的能力．
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安徽高中数学 http://sx.ahjxzx.com （2） 思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问
题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．
（3） 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．
（4） 创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的
一般的思想、方法和途径．
练习：第52页1、2、3、4、5、6、7 作业：第53页4、5
补充： 1.课题:双曲线第二定义
学法指导：以问题为诱导，结合图形，引导学生进行必要的联想、类比、化归、转化. 复习回顾 问题推广 引出课题
归纳小结 课堂练习 典型例题
教学目标
知识目标：椭圆第二定义、准线方程；
能力目标：1使学生了解椭圆第二定义给出的背景； 2了解离心率的几何意义；
3使学生理解椭圆第二定义、椭圆的准线定义； 4使学生掌握椭圆的准线方程以及准线方程的应用； 5使学生掌握椭圆第二定义的简单应用；
情感与态度目标：通过问题的引入和变式，激发学生学习的兴趣，应用运动变化的观点看待问题，体现数学的美学价值.
教学重点：椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程； 教学难点：椭圆的第二定义的运用； 教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神． 教学过程： 学生探究过程：复习回顾
1．椭圆9x?y?81的长轴长为 18 ，短轴长为 6 ，半焦距为62，离心率为
2222，焦点坐3标为(0,?62)，顶点坐标为(0,?9)(?3,0)，（准线方程为y??272）. 42．短轴长为8，离心率为
3的椭圆两焦点分别为F1、F2，过点F1作直线l交椭圆于A、B两点，5则?ABF2的周长为 20 . 引入课题
x2y2??1，M1，M2为椭圆上的点 【习题4（教材P50例6）】椭圆的方程为
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安徽高中数学 http://sx.ahjxzx.com ① 求点M1（4，2.4）到焦点F（3，0）的距离 2.6 .
② 若点M2为（4，y0）不求出点M2的纵坐标，你能求出这点到焦点F（3，0）的距离吗？
1691342y0222? 解：|MF|?(4?3)?y0且??1代入消去y0得|MF|?25525162x2y2【推广】你能否将椭圆2?2?1上任一点M(x,y)到焦点F(c,0)(c?0)的距离表示成点M横坐
ab标x的函数吗？
?|MF|?(x?c)2?y2b22c?222222|MF|?x?2cx?c?b?x?(x?a)y解：?2代入消去 得 2yxaa?2?2?1b?acca2a2?|x?a|?|x?|?e|x?| aacc问题1：你能将所得函数关系叙述成命题吗？（用文字语言表述）
a2c椭圆上的点M到右焦点F(c,0)的距离与它到定直线x?的距离的比等于离心率
ca问题2：你能写出所得命题的逆命题吗？并判断真假？（逆命题中不能出现焦点与离心率）
a2c动点M到定点F(c,0)的距离与它到定直线x?的距离的比等于常数(a?c)的点的轨迹是椭
ca圆．
【引出课题】椭圆的第二定义
当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e?c(0?e?1)时，这个点的a轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率．
x2y2a2对于椭圆2?2?1，相应于焦点F(c,0)的准线方程是x?．根据对称性，相应于焦点
caby2x2a2a2．对于椭圆2?2?1的准线方程是y??． F?(?c,0)的准线方程是x??ccab可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．
a2|MF||?a?ex；由椭圆的第二定义?右焦半径公式为|MF右|?ed?e|x?左焦?e可得：
cda2半径公式为|MF左|?ed?e|x?(?)|?a?ex
c典型例题
x2y2??1的右焦点和右准线；左焦点和左准线； 例1、求椭圆
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安徽高中数学 http://sx.ahjxzx.com a2a2解：由题意可知右焦点F(c,0)右准线x?；左焦点F(?c,0)和左准线x??
cc变式：求椭圆9x?y?81方程的准线方程；
22y2x2a2272解：椭圆可化为标准方程为： ????1，故其准线方程为y??c4819小结：求椭圆的准线方程一定要化成标准形式，然后利用准线公式即可求出
x2y2例2、椭圆??1上的点M到左准线的距离是2.5，求M到左焦点的距离为 .
2516变式：求M到右焦点的距离为 .
解：记椭圆的左右焦点分别为F1,F2到左右准线的距离分别为d1,d2由椭圆的第二定义可知：
|MF1|c3|MF|3?e???|MF1|?1.5 ?e|MF1|?ed1??2.5?1.5?d1a5d5又由椭的第一定义可知：|MF1|?|MF2|?2a?10?|MF2|?8.5
a250585?2.5???另解：点M到左准线的距离是2.5，所以点M到右准线的距离为2 c326?|MF2|385?e?|MF2|?ed2???8.5 d256小结：椭圆第二定义的应用和第一定义的应用
例1、 点P与定点A（2，0）的距离和它到定直线x?8的距离的比是1：2，求点P的轨迹；
(x?2)2?y21x2y2?由化简得解法一：设P(x,y)为所求轨迹上的任一点，则??1，故所
|x?8|21612的轨迹是椭圆。
a2c1?8解得a?4，解法二：因为定点A（2，0）所以c?2，定直线x?8所以x?又因为e??ca2x2y2故所求的轨迹方程为??1
1612变式：点P与定点A（2，0）的距离和它到定直线x?5的距离的比是1：2，求点P的轨迹； 分析：这道题目与刚才的哪道题目可以说是同一种类型的题目，那么能否用上面的两种方法来解呢？ 解法一：设P(x,y)为所求轨迹上的任一点，则
(x?2)2?y21?由化简得
|x?5|2(x?1)2y23x?6x?4y?9?0配方得??1，故所的轨迹是椭圆，其中心在（1，0）
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安徽高中数学 http://sx.ahjxzx.com a2解法二：因为定点A（2，0）所以c?2，定直线x?8所以x??5解得a2?10，故所求的轨
cx2y2迹方程为??1
106x2y2(x?1)2y2问题1：求出椭圆方程 ??1的长半轴长、短半轴长、半焦距、离心率；??1和
4343x2y2(x?1)2y2问题2：求出椭圆方程??1长轴顶点、焦点、准线方程； ??1和
4343x2y2(x?1)2y2??1所以问题1中的解：因为把椭圆??1向右平移一个单位即可以得到椭圆
4343所有问题均不变，均为a?3,b?3,c?1,e?c1? a2x2y2??1长轴顶点、焦点、准线方程分别为：(?2,0)，(?1,0)x??4； 43(x?1)2y2??1长轴顶点、焦点、准线方程分别为：(?2?1,0)，(?1?1,0)x??4?1； 43反思：由于是标准方程，故只要有两上独立的条件就可以确定一个椭圆，而题目中有三个条件，所以我们必须进行检验，又因为e?c21?另一方面离心率就等于这是两上矛盾的结果，所以所a210求方程是错误的。又由解法一可知，所求得的椭圆不是标准方程。
小结：以后有涉及到“动点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数时”最好的方法是采用求轨迹方程的思路,但是这种方法计算量比较大；
解法二运算量比较小，但应注意到会不会是标准方程，即如果三个数据可以符合课本例4的关系的话，那么其方程就是标准方程，否则非标准方程，则只能用解法一的思维来解。
例4、设AB是过椭圆右焦点的弦，那么以AB为直径的圆必与椭圆的右准线（ ） A.相切 B.相离 C.相交 D.相交或相切 分析：如何判断直线与圆的位置关系呢？
解：设AB的中点为M，则M即为圆心，直径是|AB|；记椭圆的右焦点为F，右准线为l； 过点A、B、M分别作出准线l的垂线，分别记为d1,d2,d由梯形的中位线可知d?d1?d2 2又由椭圆的第二定义可知
|AF||BF|?e?e即|AF|?|BF|?e(d1?d2) d1d2又?d?d2|AB||AB||AF|?|BF|且0?e?1?d?故直线与圆相离 ??e?12222第 30 页 共 73 页