安徽高中数学 http://sx.ahjxzx.com x2y2例5、已知点M为椭圆??1的上任意一点，F1、F2分别为左右焦点；且A(1,2)求
25165|MA|?|MF1|的最小值
3分析：应如何把
5|MF1|表示出来 3a225解：左准线l1：x????，作MD?l1于点D，记d?|MD|
c3由第二定义可知：
|MF1|c335?e?? ? |MF1|?d ? d?|MF1| da553故有|MA|?5|MF1|?|MA|?d?|MA|?|MD| 3所以有当A、M、D三点共线时，|MA|+|MD|有最小值：1?25 3即|MA|?528|MF1|的最小值是
33变式1：3|MA|?5|MF1|的最小值； 解：3|MA|?5|MF1|?3(|MA|?
变式2：
528|MF1|)?3??28 333|MA|?|MF1|的最小值； 5D M 解：
33532828 |MA|?|MF1|?(|MA|?|MF1|)???553535
巩固练习
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安徽高中数学 http://sx.ahjxzx.com 1．已知 是椭圆 上一点，若 到椭圆右准线的距离是 ，则 到左焦点的距离
为_____________．
2．若椭圆 的离心率为 ，则它的长半轴长是______________．
答案：1． 2．1或2
教学反思
1．椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程； 2．椭圆定义的简单运用；
3．离心率的求法以及焦半径公式的应用； 课后作业
1.例题5的两个变式；
2. 已知 ， 为椭圆 上的两点， 是椭圆的右焦点．若 ，
的中点到椭圆左准线的距离是
，试确定椭圆的方程．
解：由椭圆方程可知 、两准线间距离为 ．设 ， 到右准线距离分别为 ，
，
由椭圆定义有 ，所以 ，则 ，
中点 到右准线距离为 ，于是 到左准线距离为 ，
，所求椭圆方程
为 思考：
．
1．方程2(x?1)?(y?1)22?|x?y?2|表示什么曲线？
(x?1)2?(y?1)222?解：即方程表示到定点的距离与到定直线的距离的比常数（且??1；
2|x?y?2|22该常数小于1）?方程表示椭圆 例Ⅱ、（06四川高考15）如图把椭圆的长轴AB分成8等分，过每个等分点作x轴的垂线交椭圆的
上半部分于P1,P2?P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|?|P2F|???|P7F|=
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安徽高中数学 http://sx.ahjxzx.com 解法一：e?c35?，设Pi的横坐标为xi，则xi??5?i不妨设其焦点为左焦点 a54|PiF|a2353c3由?e??得|PiF|?e(xi?)?a?exi?5??(?5?i)?2?i
c544da53|P1F|?|P2F|???|P7F|?2?7?(1?2???7)?35
4解法二：由题意可知P1和P7关于y轴对称，又由椭圆的对称性及其第一定义可知
|P1F|?|P7F|?2a，同理可知|P2F|?|P6F|?2a，|P3F|?|P5F|?2a，|P4F|?a
故|P1F|?|P2F|???|P7F|?7a?35 板书设计： 复习回顾 引入课题 问题： 推广： 椭圆第二定义 典型例题 1． 2． 3． 4． 5． 课堂练习： 课堂小结： 课后作业： 思考：
2. 椭圆中焦点三角形的性质及应用
定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。
x2y2性质一：已知椭圆方程为2?2?1(a?b?0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形PF1F2中
ab?F1PF2??,则S?F1PF2?b2tan。
2?(2c)2?F1F22??PF1?PF2?2PF1PF2cos??(PF1?PF2)2?2PF1PF2(1?cos?)
22?PF1PF2?(PF1?PF2)2?4c22(1?cos?)4a2?4c22b2?? 2(1?cos?)1?cos??S?F1PF21b2??PF1PF2sin??sin??b2tan 21?cos?2x2y2性质二：已知椭圆方程为2?2?1(a?b?0),左右两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形PF1F2，
ab若?F1PF2最大，则点P为椭圆短轴的端点。
证明：设P(xo,yo),由焦半径公式可知：PF1?a?exo，PF1?a?exo
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安徽高中数学 http://sx.ahjxzx.com 222在?F1PF2中，cos??PF1?PF1?F1F22PF1PF2?(PF1?PF2)2?2PF1PF2?4c22PF1PF2
4a2?4c24b22b2?1??1=2?1 ?22PF1PF22(a?exo)(a?exo)a?e2xo2??a?x0?a ?xo?a2
x2y2性质三：已知椭圆方程为2?2?1(a?b?0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形PF1F2中
ab?F1PF2??,则cos??1?2e2.
证明：设PF1?r1,PF2?r2,则在?F1PF2中，由余弦定理得：
r12?r22?F1F2(r1?r2)2?2r1r2?4c22a2?2c2???1 cos??2r1r22r1r22r1r222a2?2c22a2?2c22?1??1?1?2e. 命题得证。 ?2r1?r222a2()2x2y2（2000年高考题）已知椭圆2?2?1(a?b?0)的两焦点分别为F1,F2,若椭圆上存在一点P,使
ab得?F1PF2?120,求椭圆的离心率e的取值范围。 简解：由椭圆焦点三角形性质可知cos120?1?2e.即?0201?1?2e2 , 2?3?,1?. 于是得到e的取值范围是???2?x2y2性质四：已知椭圆方程为2?2?1(a?b?0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形PF1F2，
ab?PF1F2??,?PF2F1??,则椭圆的离心率e?sin(???)。
sin??sin??PF1F2??,?PF2F1??,
由正弦定理得：
F1F2sin(180o????)??PF2sin?
?PF1sin?
由等比定理得：
F1F2sin(???)PF1?PF2sin??sin?第 34 页 共 73 页
安徽高中数学 http://sx.ahjxzx.com PF1?PF22c2acsin(???)??而， ∴e??。
sin(???)sin(???)sin??sin?sin??sin?asin??sin?已知椭圆的焦点是F1(－1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜的等差中项．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点P在第三象限，且∠PF1F2＝120°，求tanF1PF2．
解：(1)由题设2｜F1F2｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜
F1F2x2y2∴2a＝４，又2c＝2，∴b＝3 ∴椭圆的方程为＝1． ?43(2)设∠F1PF2＝θ，则∠PF2F1＝60°－θ
1sin(180o??)1??椭圆的离心率e? 则?oo2sin120?sin(60??)2sin?3?sin(60o??)2，
整理得：5sinθ＝3(1＋cosθ)
3?3sin?35?53． ∴故tan?，tanF1PF2＝tanθ＝?31?cos?511251?252? 2.3双曲线
2．2．1 双曲线及其标准方程
◆ 知识与技能目标
理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题；理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解借助信息技术探究动点轨迹的《几何画板》的制作或操作方法．
◆ 过程与方法目标 （1）预习与引入过程
预习教科书56页至60页，当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面与圆锥的轴线或平行时，截口曲线是双曲线，待观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么此时的截口曲线是双曲线而不是两条抛物线；第二、你能举出现实生活中双曲线的例子．当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起思考与探究P56页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子两条（一条约10cm长，另一条约6cm每条一端结一个套）和笔尖带小环的铅笔一枝，教师准备无弹性细绳子两条（一条约20cm，另一条约12cm，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当把绳子按同一方向穿入笔尖的环中，把绳子的另一端重合在一起，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是双曲线．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？〖板
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