随机过程习题 第5章
dy(t)11?x(t)?x(t?T)dtTT
对上式两边取拉氏变换得：
sy(s)?111x(s)?x(s)e?sT?x(s)1?e?sTTTT
??于是得系统的传递函数为
y(s)(1?e?sTH(s)?)x(s)?sT
它对应的冲激函数为
?1h(t)???T0?t?T??0其它
(2) 第6题中所定义的系统的相关函数为
??T?1T????T2dt?T2?R?)??????h(t)h(t??)dt???T??1T??h(??0T2dt?T2????0即
?T?|?|R)??0?|?|?Th(??T2??0|?|?T
(3) 由第6题的结论可知
D[?(t)]??????C?(?)Rh(?)d?
于是，当T0?T时
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0???T?T???0|?|?T
随机过程习题 第5章
2D[?(t)]??????|?|?T?|?|?1??d??T2?T0?T0??T022T0??2??0?(T0?T)??T0Td?2T0TT0022????3??2??(T0?T)?T0T???2TT2???3?02T0???3T2(3T?T0)
当T0?T时
2D[?(t)]?????|?|?T?|?|?1??d??2?T??T0?TTT22????3??2??T0T????(T0?T)232TT????02??0?3T0(3T0?T)
5.8 设有线性时不变系统，它的冲激响应为
h(t)?e??tU(t)
其中，?为常数，U(t)阶跃函数。如果系统的输入为一宽平稳随机过程，它的相关函数为
R?(?)?e??|?| (?>0)。
求输入输出间的互 相关函数R??(?)，设??3，??1，画出R??(?)，问是否对称于
?=0的轴。
解：输入输出间的互相关函数为
R??(t1,t2)?E[?(t1)?(t2)]??0??h(u)R?(t2?t1?u)du
因此，
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随机过程习题 第5章
R??(?)??0??h(u)R?(???u)du????u??(??u)?eedu,??0??0????????u??(??u)?e??ue?(??u)du?eedu,??0?0???
????2?
?2??2e??U(??)?11e???U(?)?e??U(??)??????
R(?)R(?)当?=3，?=1时，??如下图所示。显然，??不对称于?=0的轴。
解决这个问题的另一种方法是功率谱方法。首先，输出和输入的互谱密度函数为
S??(f)?H(jf)S??(f)
其中，
H(jf)?1??j2?f
S??(f)?2??2?(2?f)2
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随机过程习题 第5章
于是，互谱密度函数为
?11?2??2??????S??(f)???j2?f??j2?f??j2?f??
2?其对应的互相关函数为
R??(?)?2?e???U(?)?11e??U(??)?e???U(?)???????2??2
因此，输入和输出的互相关函数为
R??(?)?R??(??)? 5.9 5.10
2??2??2e??U(??)?11e???U(?)?e??U(??) ??????5.11 有实平稳随机过程?(t)，其相关函数为R?(?)，试证明
R?(0)?R?(?)?14n[R(0)?R(2?)] ??n证明：因为
R?(0)?R?(?)?2(?2(????S(f)df????S(f)cos2?f?df)
??????S(f)(1?cos2?f?)df) ???24nS(f)sin2?f?)df)
?4(又
14?2?n[R(0)?R(2?)]???nn?1(????S(f)df?????S(f)cos2n?1?f?df)
?S(f)(1?cos24n???f?)df
?4????S(f)sin2(?f?)cos2(?f?)cos2(2?f?)cos2(22?f?)?cos2(2n?1?f?)df
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随机过程习题 第5章
因为，
cos2(?f?)cos2(2?f?)cos2(22?f?)?cos2(2n?1?f?)?1
所以，
R?(0)?R?(?)?14n[R(0)?R(2?)] ??n5.12 试证明表5-12中相应的功率谱密度表达式的正确性。表中?(t)代表平稳随机过程，
R?(?)代表?(t)的相关函数，
S?(f)代表?(t)的功率谱密度。
表5-12 过 程 ?(t) 相 关 函 数 R?(?)功 率 谱 密 度 S?(f)2（已知） 2（已知） （1）a?(t) d?(t)（2）dt dn?(t)aR?(?)2 aS?(f)?(?1)ndR?(?) d(2n)R?(?)d?2nd?2(2?f)2S?(f)（3）dtn (2?f)2nS?(f)S?(f?f0)?j2?f0t?(t)e（4） R?(?)e?j2?f0? 解：
aR?(?)(1) 显然a?(t)的相关函数为，于是a?(t)的功率谱密度为
??2S(f)????aR?(?)e?j2?f?d??aS?(f)22
(2)
d?(t)
于是dt的功率谱密度为
??S(f)???????d2R?(?)d?2e?j2?f?d?
)?e?j2?f?d??????(dR?(?)d?
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