随机过程习题 第5章
??dR?(?)d??e?j2?f???????(?j2?f)???dR?(?)d?e?j2?f?d?
????????dR?(?)d??e?j2?f??????(?j2?f)?R?(?)e?j2?f????(j2?f)?R???(?)e?j2?f?d?????=
(2?f)2S?(f)
（3）利用分步积分，递推过程同（2），推导略。
??S(f)?（4）
???R?(?)e?j2?f0??j2?f???ed?????R?(?)e?j2?(f?f0)?d??S?(f?f0)
5.13. 设有平稳随机过程?(t)，它的样本函数如图题5-13(a)所示。每个脉冲的宽度为
?，幅度为
1，即每个脉冲的面积为1，而脉宽??0；脉冲的出现规律符合泊松分?布，即单位时间内出现的平均脉冲个数为?，不相交叠的时间间隔内出现的脉冲数是
(?T)n??T相互统计独立的，P(n,T)?，n=1，2，3，?；每个脉冲极性可正可负，?en!出现正或负的概率各为
1，不同脉冲出现正或负是相互统计独立的。 2(1) 求此随机过程的相关函数R?(?) (2) 求它的功率谱密度S?(f)
(3) 若把该随机信号送入积分电路，求其输出?(t)的样本函数。输出随机信号的功率谱密度
1S?(f)为何？（电路如图5-13(b)所示）
?(k)(t)??0t 11
随机过程习题 第5章
图题5-13(a)
图题5-13(b)
解：（1）在图5-13中，脉宽??0时得到的是一个复合泊松脉冲过程，也就是一个复合泊松过程的微分过程。因此可以先求复合泊松过程的相关函数，然后再求复合泊松脉冲过程的相关函数。
Rx(t1,t2)?E{X(t1)X(t2)}?E{X(t1)[X(t2)?X(t1)?X(t1)]}
?(t)RC?(t)由其产生的复合泊松脉冲过程，有：
R?(?)?E2[Yn]?2?E[Yn2]??(?)2R(?)???(?)此处E[Yn]?0，E[Yn]?1，故?
（2）功率谱密度函数为相关函数的傅立叶变换：
S?(f)??
（3）积分电路的传递函数为
H(f)?1j2?fRC?1
故输出的功率谱函数为：
?S?(f)?H(f)S?(f)1?(2f?RC)2=
2样本函数如图题5-14。
5.14 设有平稳随机过程?(t)，它的样本函数如图5-14所示，每个脉冲的波形为负指
?k(t?u)keU(t?u)，u为脉冲的出现时刻，它符合泊松分布规律，且单位时间数波形即
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随机过程习题 第5章
内出现的脉冲平均个数??1。求证?(t)的功率谱密度
S?(f)为
S?(f)?k2?2?f?2?k2
现有二个线性系统，它们的转移函数分别为
H1(jf)?j2?f??j2?f??H2(jf)?j2?f?? ， j2?f??
其中??0，??0,??k，如图5-14所示。随机信号?(t)分别送入这两个线性系统，
S(f)S?2(f)得到的输出分别为?1(t)和?2(t)。求输出功率谱密度?1和，并问?1(t)和
?2(t)内各脉冲的波形为何？
0 ?(k)(t) t 13
随机过程习题 第5章
?(t) H1(jf)?j2?f?? j2?f???1(t)
?(t) H2(jf)?j2?f?? j2?f???2(t)
图5-14
解：由于随机过程?(t)中的每个脉冲的波形相同，只不过极性和出现时刻不同，且出现时刻符合泊松分布规律。因此?(t)可以看作是以5.13题的复合泊松脉冲过程作为
?kt输入，以脉冲的基本波形keU(t)作为冲激响应的系统的输出，即如下图所示。
?kt其中，系统的冲激响应h(t)?keU(t)对应的系统传递函数为
复合泊松脉冲过程 h(t) ?(t)
H(jf)????0ke?kte?j2?ftdt?kk?j2?f
由5.13题可知输入的复合泊松脉冲过程的相关函数为??(?)，即功率谱密度函数为
?。于是可得?(t)的功率谱密度函数为
?k2S?(f)?H(jf)S输入(f)?k2?(2?f)22??1k2?k2?(2?f)2
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随机过程习题 第5章
?(t)分别送入图5-14所示的两个线性系统，输出的随机过程?1(t)和?2(t)的功率谱密度分别为
k2[?2?(2?f)2]S?1(f)?H1(jf)S?(f)?[k2?(2?f)2][?2?(2?f)2]
2k2[?2?(2?f)2]S?2(f)?H2(jf)S?(f)?[k2?(2?f)2][?2?(2?f)2]
2?kt输入随机过程?(t)的一个基本脉冲波形keU(t)通过两个系统的输出分别为
k?(??k)e?kt?(???)e??t?U(t)??k
和
k??(??k)e?kt?(???)e??t?U(t)??k
由此可见，输出的随机过程?1(t)和?2(t)的功率谱密度函数虽然相同，但是时间波形
相差一个相位(如图示)。所以，功率谱密度函数不包含相位信息。
5.15 设有图题5-15所示的线性反馈系统，其中h (t)，k (t)分别为两个方块图的冲激响应，H(if)，K(if)为其相应的转移函数，e (t)代表误差信号，即输入信号与输出信号
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