淄博市2014届高三教学质量检测考试
理 科 数 学
本试卷分为选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科
类填写在答题卡上和试卷规定的位置上．
2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的
位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能 使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． 1．已知集合U={a，b，c，d，e），M={a，d），N={a，c，e），则M(eUN)为
A．{a,c,d,e}
B．{a，b,d） c．{b,d）
D．{d}
2．己知i是虚数单位，则3?i2?i等于
A．－1+i B．－1－i C．1+i D．1－i 3，“a>b且c>d”是“ac >bd”成立的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．某程序框图如右图所示，若输出的S= 57，则判断框内填 A．k>4 B．k>5 C．k>6 D．k>7 5．设a,b是两个非零向量，则下列命题为真命题的是 A．若a?b?a?b，则a?b B．若a?b，则a?b?a?b
C．若a?b?a?b，则存在实数?，使得a??b
D．若存在实数?，使得a??b，则a?b?a?b
6．某几何体正视图与侧视图相同，其正视图与俯视图如图所示，且图
中的四边形都是边长为2的正方形，正视图中两条虚线互相垂直，则该 几何体的体积是
A．
203 B．6 C．4 D．
43 7．下列函数是偶函数，且在[0，1]上单调递增的是
A．y?cos??x????2?? B． y?1?2cos22x
C．y??x2
D．y?sin(??x)
248．二项式??1??x?3x??的展开式中，x的幂指数是整数的项共有
A．3项 B．4项 - C．5项 D．6项
9．3名男生3名女生站成两排照相，要求每排3人且3名男生不在同一排，则不同的站法有 A．324种 B．360种 C．648神 D．684种
x2y210．如图，己知双曲a2?b2?1(a?0,b?0)的左、右
焦点分别为F1，F2，FF12?4，P是双曲线右支上的 一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1 上的切点为Q，若|PQ| =1，则双曲线的离心率是 A．3
B．2
C．3
D．2
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知??(?2,?),sin??35，则tan? ． 12．已知等比数列?an?，若a3a4a8=8，则ala2 ?a9=____． 13．若loga4b=－1，则a+b的最小值为 。
?x2?y214．已知x，y满足??1?x?y?1，则z=x-y的取值范围是 。
??y?015．在实数集R中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们在
平面向量集D??a|a?(x,y)x?R,y?R?上也可以定义一个称“序”的关系，记为“
”．定义如下：对于任意两个向量a1?(x1,y1),a2?(x2,y2)\a1a2”，当且仅当“x1> x2”或“xl= x2且y1> y2”．按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：
①若e1?(1,0),e2?(0,1),0?(0,0),则e1e20;
②若a1a2,a2a3,则a1a3;
③若a1a2,则对于任意a?D,a1?aa2?a;
④对于任意向量a0,0?(0,0),若a1a2,则a.a1?a.a2.
其中真命题的序号为_____．
三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16.（本题满分12分）
在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若m??b,2c?a?,n??1,2cosA?,且m//n. （I）求B；
（II）设函数f?x??12sin2xcosB?cos2xsinB?1??????2cos??2?B??，求函数f?x?在??0，4??上的取值范围.
17．（本题满分12分）学校组织了一次安全知识竞赛，现随机抽取20名学生的测试成绩，
加下表所示（不低于90分的测试成绩称为“优秀成绩”）
（I）若从这20人中随机选取3人，求至多有1人是“优秀成绩”的概率；
（II）以这20人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校全体学生中（人数很
多）任选3人，记?表示抽到“优秀成绩”学生的人数，求?的分布列及数学期望．
18．（本题满分12分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，PB⊥AC，AD⊥CD，苴AD=CD=22，PA=2。点M在线段PD。
（Ⅰ）求证：AB⊥平面PAC； （Ⅱ）若二面角M—AC—D的大小为45°，试确定点M的位置。 19．（本题满分12分）某市为控制大气PM 2．5的浓度，环境部门规定：该市每年的大气主要污染物排放总量不能超过55万吨，否则将采取紧急限排措施．已知该市2013年的大气主要污染物排放总量为40万吨，通过技术改造和倡导绿色低碳生活等措施，此后每年的原大气主要污染物排放量比上一年的排放总量减少
10%．同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加大气主要污染物排放量胁（m>0）万吨．
（I）从2014年起，该市每年大气主要污染物排放总量（万吨）依次构成数列?an?，求
相邻两年主要污染物排放总量的关系式；
（ II）证明：数列?an?10m?是等比数列；
（Ⅲ）若该市始终不需要采取紧急隈排措施，求m的取值范围． 20．（本题满分13分）已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C 的一个焦点在抛物线y2=
43x的准线上，且椭圆C过点(1,32)． （I）求椭圆C的方程；．
（II）点A为椭圆C的右顶点，过点B（l，0）作直线l与椭圆C相交于E,F两点，直
线AE，AF与直线x=3分别交于不同的两点M，N，求EM.FN的取值范围．
21．（本题满分14分）已知函数f(x)?(1?x)ex?1． （I）求函数厂（x）的最大值；
（II）若x?0时,g(x)?ex??1n(1?x)?1?0,求?的取值范围;；
1 （III）证明：
12nen?1?11en?2?en?3??e?n?1n2(n?N*)．
高三复习阶段性诊断考试
数学试题参考答案2014.4
一、选择题： BDDAC ADCCB
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11． ?34 12． 512 ． 13． 1 14． ???2,1??
15．（文科） 7 15．（理科） ①②③ .
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分）
解：（Ⅰ）解法一：
因为m//n，所以 2bcosA?2c?a ?????????????2分
?b2?c2由余弦定理得2b?a22222bc?2c?a，整理得ac=a+c?b
所以cosB?a2+c2?b212ac=2 ???????????4分
又因为0?B??，所以B??3. ???????????????6分
解法二：
因为m//n，所以2bcosA?2c?a ????????????2分 由正弦定理得 2sinBcosA?2sinC?sinA 所以2sinBcosA?2sin?A?B??sinA 整理得2sinAcosB?sinA?0
因为0?A??，所以sinA?0，所以cosB?12 ????????4分 又因为0?B??，所以B??3. ????????????????6分
（Ⅱ）f(x)?11?2sin2xcosB?cos2xsinB?2cos(2?B) ?131?cos2x34sin2x?2?2?4
?14sin2x?34cos2x?1?2sin(2x?3) ??????8分
因为 0?x??4，则
?3?2x+?5?3?6， ?????????10分 所以
12?sin（2x+?3）?1， 即f(x)在[0,?4]上取值范围是[114,2]. ????????12分 17．（文科 本题满分12分）
解：(Ⅰ)设该校总人数为n人， 由题意，得
50n?10100?300，所以n?2000 ??????3分 故z?2000?(100?300?150?450?600)?400． ????5分 (Ⅱ)设所抽样本中有m个女生．因为用分层抽样的方法在高一学生中抽取一个容量为5的样本，所以
4001000?m5，解得m?2． ?????????7分 也就是抽取了2名女生，3名男生，分别记作A1,A2,B1,B2,B3，则从中任取2个的所有
基本事件为(A1,A2)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,B3)，(B1,B2)，(B1,B3)，(B2,B3)，共10个； ???????9分
其中至少有1名女生的基本事件有7个： (A1,A2)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)， (A2,B1)，(A2,B2)，(A2,B3) ??????????11分 所以从中任取2人，至少有1名女生的概率为P?710． ???????12分 17．（理科 本题满分12分）
解：（Ⅰ）由表知：“优秀成绩”为4人． ????????????1分 设随机选取3人，至多有1人是“优秀成绩”为事件A，则
P(A)?C3C211616C452C3?3?． ?????????????????5分 20C2057（Ⅱ）由样本估计总体可知抽到“优秀成绩”学生的概率P?15． ???6分 ?可取0,1,2,3 ?????????????????????7分
P(??0)?C03(15)0(45)3?64125；P(??1)?C1142483(5)(5)?125； P(??2)?C2124123134013(5)(5)?125；P(??3)?C3(5)(5)?125．
?的分布列：
?
?????????????11分
E??0?64481213125?1?125?2?125?3?125?5． ?????????12分
或 ?B(3,15), E??3?15?35． ?????????12分
18．（文科 本题满分12分）
证明：（Ⅰ）因为PA?平面ABCD，AC,AB?平面ABCD
所以 PA?AC,PA?AB ?????????????2分 又因为PB?AC，PA?AC，PA,PB?平面PAB，PAPB?P,
所以AC?平面PAB ?????????????3分 又因为AC?平面PAB，AB?平面PAB，
所以AC?AB ?????????????4分
因为AC?AB，PA?AB，PA,AC?平面PAC，PAAC?A,
所以 AB?平面PAC ?????????6分 （Ⅱ）方法一
取PC的中点E,连接QE、ED. 因为Q是线段
PB的中点，E是PC的中点，
所以 QE∥BC,QE?12BC???8分 因为 AD∥BC,BC?2AD
所以 QE∥AD,QE?AD
所以 四边形AQED是平行四边形，????????????9分
所以 AQ∥ED, ????????????10分
因为AQ∥ED,AQ?平面PCD,ED?平面PCD
所以 AQ∥平面PCD. ????????????????12分 方法二
取BC的中点E,连接AE、QE. 因为 BC?2AD 所以AD?EC 又 AD∥EC，所以 四边形ADCE是平行四边形， 所以AE∥CD
因为AE?平面PCD,CD?平面PCD,
所以AE∥平面PCD?????8分 因为Q，E分别是线段PB，BC的中点，
所以QE∥PC，所以QE∥平面PCD ???????????10分 因为QEAE?E，所以平面AEQ∥平面PCD ????????11分
因为AQ?平面AEQ，所以AQ∥平面PCD. ?????????12分
18．（理科 本题满分12分）
解证：（Ⅰ）因为PA?平面ABCD，AC,AB? 平面ABCD 所以 PA?AC,PA?AB ?????????????2分 又因为PB?AC，PA?AC，PA,PB?平面PAB，PAPB?P,
所以AC?平面PAB ?????????????3分
又因为AC?平面PAB，AB?平面PAB，
所以AC?AB ?????????????4分 因为AC?AB，PA?AB，PA,AC?平面PAC，PAAC?A,
所以 AB?平面PAC ?????????6分 （Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，又由（Ⅰ）知BA?AC， 建立如图所示的空间直角坐标系 A?xyz.则
A?0,0,0?,C?0,4,0?,D??2,2,0?，P?0,0,2?,PD???2,2,?2?,AC??0,4,0?
设M?x,y,z?，PM?tPD,则 ?x,y,z?2??t??2,2,?2?，
故点M坐标为??2t,2t,2?2t?,AM???2t,2t,2?2t? ??????8分
设平面MAC的法向量为n,y,z)，则???AC?n1?0,1?(x ??????9分
??AM?n1?0.所以???4y?0,???2tx?2ty??2?2t?z?0.
令z?1，则n?t1?(1t，0，1). ????????????10分又平面ACD的法向量n2?(0,0,1) 所以cos45?n1?n2n?2, 解得t=1
1?n222故点M为线段PD的中点. ????????????12分 ．(本题满分12分)
解：（Ⅰ）由已知，a1?40?0.9?m,an?1?0.9an?m（n?1）.???4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：an?1?10m?0.9an?9m?0.9?an?10m?，所以数列?an?10m?是以a1?10m?36?9m为首项、0.9为公比的等比数列.???6分 （Ⅲ）由（Ⅱ）得：an?10m??36?9m??0.9n?1 ，
即an??36?9m??0.9n?1?10m . ????????8分 由?36?9m??0.9n?1?10m?55 ，得
55?36?0.9n?1m?10?9?0.9n?1?5.5?4?0.9n1?0.9n?1.51?0.9n?4恒成立（n?N*） ?11分 解得：m?5.5；
又m?0 ，综上，可得m??0,5.5?. ??????????12分 20．（文科 本题满分13分）
解：（Ⅰ）连接AF1，因为AB?AF2，BF1?F1F2，所以AF1?F1F2， 即a?2c，则F12(2a,0)，B(?32a,0). ?????? 3分 Rt?ABC的外接圆圆心为F111(?2a,0)，半径r?2F2B?a ???4分
?1由已知圆心到直线的距离为a，所以
2a?32?a， 解得a?2，所以c?1，b?3，
所求椭圆方程为x2y24?3?1. ??????6分 （Ⅱ）因为F2(1,0)，设直线l的方程为：y?k(x?1)，M(x1,y1),N(x2,y2).
?y?k(x?1)联立方程组：??x2?y2，消去y ?4?3?1 19