得(3?4k2)x2?8k2x?4k2?12?0. ?????? 7分
则x8k21?x2?3?4k2，y1?y2?k(x?6k1?x2?2)?3?4k2， MN的中点为(4k23?4k2,?3k3?4k2). ??????8分
当k?0时，MN为长轴，中点为原点，则m?0. ??????9分
当k?0时，MN垂直平分线方程y?3k3?4k2?1k(x?4k2?3?4k2). 令y?0，所以m?k23?4k2?13 k2?4 因为
3k2?0，所以3k2?4?4，可得0?m?14， ????12分
综上可得，实数m的取值范围是[0,14). ??????13分
20．（理科 本题满分13分）
解：（Ⅰ）抛物线y2?43x的准线方程为：x??3?????1分
设椭圆的方程为x2y2a2?b2?1?a?b?0?，则c?3 ?a2?b2依题意得??3?1，解得a2?4，b2??31. ?a2?4b2?1所以椭圆C的方程为x24?y2?1. ????????????3分 （Ⅱ）显然点A(2,0).
（1）当直线l的斜率不存在时，不妨设点E在x轴上方，
易得E(1,32),F(1,?32)，M(3,?332),N(3,2)， 所以EM?FN?1. ????????????5分
（2）当直线l的斜率存在时，由题意可设直线l的方程为y?k(x?1)，
E(x1,y1),F(x2,y2),显然k?0 时，不符合题意.
由??y?k(x?1),得?x2?4y2?4?0(4k2?1)x2?8k2x?4k2?4?0. ???????6分 则x8k21?x2?4k2?1,x4k2?41x2?4k2?1.?????7分 直线AE，AF的方程分别为：y?y1yx2(x?2),y?2x(x?2)， 1?2?2令x?3，则M(3,y1x2),N(3,y2x). 1?2?2所以EM?(3?xy1(3?x1)1,x)，FN?(3?xy2(3?x2)2,1?2x). ???9分
2?2所以EM?FN?(3?x)?y1(3?x1)y2(3?x2)1)(3?x2x? 1?2x2?2?(3?x21)(3?x2)(1?y1y(x2)(x) ?(3?x)(3?x(x?1)(x2?1)12)(1?k2?1)
1?2?2)(x1?2)(x2?2)?[xx1x2?(x1?x2)?11x2?3(x1?x2)?9]?[1?k2?x]
1x2?2(x1?x2)?44k2?48k2?(4k2?42?2?14k?1?3?8k24k?1?9)?(1?k2?4k?14k?1224k2?48k2)
4k2?1?2?4k2?1?4?(16k2?54k?1(1??3k24k2)?16k2?516k2?4?1?12)?16k2?4. ???????11分 因为k2?0，所以16k2?4?4，所以1?16k2?5516k2?4?54，即
EM?FN?(1,4). 综上所述，EM?FN的取值范围是[1,54). ?????????13分 21．（文科 本题满分14分）
解：（Ⅰ）f?(x)??xex， ??????????????1分 当x?0时，f?(x)?0；当x?0时，f?(x)?0；当x?0时，f?(x)?0； 所以函数f(x)在区间(??,0)上单调递增，在区间(0,??)上单调递减；
?????????3分故f(x)max?f(0)?0． ??????????????????4分 （Ⅱ）由g(x)?(1?x)ex??x2?1，得g?(x)??x(ex?2?)．????6分
当??0时，由（Ⅰ）得g(x)?f(x)??x2?f(x)?0成立； ????8分
当0???12时，因为x?(0,??)时g?(x)?0，所以x?0时， g(x)?g(0)?0成立； ????????????????????10分 当??
1
2
时，因为x?(0,ln2?)时g?(x)?0，所以g(x)?g(0)?0．?13分 综上，知?的取值范围是(??,12]． ??????????????14分
21．（理科 本题满分14分）
解证：（Ⅰ）f?(x)??xex， ??????????????1分 当x?0时，f?(x)?0；当x?0时，f?(x)?0；当x?0时，f?(x)?0； 所以函数f(x)在区间(??,0)上单调递增，在区间(0,??)上单调递减；
???????3分
故f(x)max?f(0)?0． ????????????????????4分
（Ⅱ）解法一：g?(x)?ex??(1?x)ex??1?x?1?x， ???????5分 当??0时，因为x?(0,1)时g?(x)?0，所以x?0时，g(x)?g(0)?0；
?????????????????????????????6分
当0???1时，令h(x)?(1?x)ex??，h?(x)??xex．
当x?(0,1)时，h?(x)?0，h(x)单调递减，且h(0)h(1)?(1??)(??)?0， 故h(x)在(0,1)内存在唯一的零点x0，使得对于x?(0,x0)有h(x)?0， 也即g?(x)?0．所以，当x?(0,x0)时g(x)?g(0)?0； ?????8分
当??1时，x?(0,1)时g?(x)?(1?x)ex??1?x?(1?x)ex?11?x?f(x)1?x?0，所以，当x?0时g(x)?g(0)?0． ?????????????9分
综上，知?的取值范围是[1,??)． ?????????????10分
解法二： g?(x)?ex??(1?x)ex1?x???1?x， ????????5分 令h(x)?(1?x)ex??，h?(x)??xex．
当x?[0,1)时，h?(x)?0，所以h(x)单调递减． ???????6分 若在[0,1)内存在使h(x)?(1?x)ex???0的区间(0,x0)，
则g(x)在(0,x0)上是增函数，g(x)?g(0)?0，与已知不符． ???8分 故x?[0,1)，h(x)?0，此时g(x)在[0,1)上是减函数，g(x)?g(0)?0成立．
由h(x)?(1?x)ex???0，x?[0,1)恒成立，而h?(x)?0， 则需h(x)的最大值h(0)?0，即?1?0?e0???0，??1，
所以?的取值范围是[1,??)． ????????10分 （Ⅲ）在（Ⅱ）中令??1，得x?0时，ex?1?ln(1?x)． ?????11分 将x?111,,,n?1n?2n?3,1代入上述不等式，再将得到的n个不等式相加，得2ne
1n?1?e1n?2?e1n?3??e12n?n?ln2． ????