20．（本小题满分14分）
已知A、B分别是直线y?33x和y??x上的两个动点，线段AB的长为23，33P是AB的中点．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点Q(1,0)作直线l（与x轴不垂直）与轨迹C交于M、N两点，与y轴交于点
??????????????????R．若RM??MQ，RN??NQ，证明：???为定值．
21．（本小题满分14分）
在单调递增数列{an}中，a1?1，a2?2，且a2n?1,a2n,aa2n,a2n?1,an2?n2?1成等差数列，
n?1,2,3,?． 成等比数列，2（1）分别计算a3，a5和a4，a6的值；
（2）求数列{an}的通项公式（将an用n表示）；
14n（3）设数列{}的前n项和为Sn，证明：Sn?，n?N*．
n?2an
2010年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试卷 第6页 共19页
2010年深圳市高三年级第一次调研考试 数学（理科）参考答案及评分标准
说明：
1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2、对于计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 D 5 A 6 D 7 D 8 C 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）
9
．
27 ．
10
．
－8 ． 11． 6 ． 12．
(??,0)?{2}． 13． 67 ．
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．
2． 15．
1077．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和
演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数f(x)?2sin(ωx?周期为?．
（1）求?的值；
??)sin(ωx?)（其中?为正常数，x?R）的最小正632010年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试卷 第7页 共19页
（2）在△ABC中，若A?B，且f(A)?f(B)?解：（1）∵f(x)?2sin(ωx?BC1，求． 2AB???????)sin(ωx?)?2sin(ωx?)cos?(ωx?)?? 63632??????2sin(ωx?)cos(ωx?)?sin(2ωx?)． ??????
663?????4分
而f(x)的最小正周期为?，?为正常数，
2???， 2ω解之，得??1． ?????????6分
?（2）由（1）得f(x)?sin(2x?)．
3若x是三角形的内角，则0?x??，
??5?∴??2x??．
3331?1令f(x)?，得sin(2x?)?，
322???5?∴2x??或2x??，
3636?7?解之，得x?或x?．
124
∴
由已知，A,B是△ABC的内角，A?B且f(A)?f(B)?∴
∴C???A?B?又
由
A??4，
1， 27?B?12，
?． ??????????10分 6正
弦
定
理
，
得
?2BCsinA4?2?2． ??????????12分 ??1ABsinCsin?62sin说明：本题主要考查三角变换、诱导公式、三角函数的周期性、特殊角的三角函数值、正
弦定理等基础知识，以及运算求解能力． 17．（本小题满分12分）
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?BAC??ACD?90?，如图5，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，?EAC?60?，AB?AC?AE．
（1）在直线BC上是否存在一点P，使得DP//平面EAB？请证明你的结论； （2）求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角?的余弦值． 解：（1）线段BC的中点就是满足条件的点P． ??1分
证明如下：
取AB的中点F连结DP、PF、EF，则
EDFP//AC，FP?1AC， ???????2分 2MAFBP取AC的中点M，连结EM、EC， ∵AE?AC且?EAC?60?， ∴△EAC是正三角形，∴EM?AC． ∴四边形EMCD为矩形， ∴ED?MC?C1AC．又∵ED//AC，???3分 2∴ED//FP且ED?FP，
四边形EFPD是平行四边形．????????4分 ∴DP//EF，
而EF?平面EAB，DP?平面EAB，
∴DP//平面EAB． ????????6分
（2）（解法1）过B作AC的平行线l，过C作l的垂线交l于G，连结DG， ∵ED//AC， ∴ED//l，
El是平面EBD与平面ABC所成二面角的棱．??8分
∵平面EAC?平面ABC，DC?AC， ∴DC?平面ABC，
又∵l?平面ABC，∴l?平面DGC， ∴l?DG，
MAFBPG2010年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试卷 第9页 共19页
∴?DGC是所求二面角的平面角．??????10分 设AB?AC?AE?2a，则CD?∴GD?GC2?CD2?7a， ∴cos??cos?DGC??????12分
（解法2）∵?BAC?90?，平面EACD?平面ABC，
∴以点A为原点，直线AB为x轴，直线AC为y轴，建立空间直角坐标系A?xyz，则z轴在平面EACD内（如图）．
设AB?AC?AE?2a，由已知，得B(2a,0,0)，E(0,a,3a，GC?2a，
GC27． ?????GD73a)，
D(0,2a,3a)．
∴
EB?(2a,?a,?3a)，
ED?(0,a,0)， ?????????8分
设平面EBD的法向量为n?(x,y,z)， 则n?EB且n?ED， ∴?zED?n?EB?0,?n?ED?0.?2ax?ay?3az?0,∴?
ay?0.?
?3?x?z,
解之得?2??y?0.取z?2，得平面EBD的一个法向量为
MAFPCxBn?(3,0,2). ??????
????10分
又∵平面ABC的一个法向量为n??(0,0,1)．
cos??cos?n,n??????12分
3?0?0?0?2?1(3)2?02?22?02?02?12?27．??????7说明：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知
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