识，以及空间想象能力和逻辑推理能力． 18．（本小题满分14分）
已知f(x)是二次函数，f?(x)是它的导函数，且对任意的x?R，
f?(x)?f(x?1)?x2
恒成立．
（1）求f(x)的解析表达式；
（2）设t?0，曲线C：y?f(x)在点P(t,f(t))处的切线为l，l与坐标轴围成的三角形面积为S(t)．求S(t)的最小值．
解：（1）设
f(x)?ax2?bx?c（其中
a?0），则
f'(x)?2ax?b， ??????2分
f(x?1)?a(x?1)2?b(x?1)?c?ax2?(2a?b)x?a?b?c．
由已知，得2ax?b?(a?1)x2?(2a?b)x?a?b?c，
?a?1?0?∴?2a?b?2a，解之，得a??1，b?0，c?1， ?a?b?c?b?∴f(x)??x2?1． ??????5分
2（2）由（1）得，P(t,1?t)，切线l的斜率k?f'(t)??2t，
∴切线
l的方程为
y?(1?t2)??2t(x?t)，即
y??2tx?t2?1． ??????7分
t2?1,0)，l与y轴的交点为B(0,t2?1)， 从而l与x轴的交点为A(2t(t2?1)2S(t)?∴（其中
4tt?0）． ??????9分
(t2?1)(3t?1)(3t?1)∴S'(t)?． ?24t?????11分
当0?t?当
3时，S'(t)?0，S(t)是减函数； 33S'(t)?0t?时，，
3S(t)是增函
数． ??????13分
2010年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试卷 第11页 共19页
∴[S(t)]min?S??3?43??3??9． ????????14分
说明：本题主要考查二次函数的概念、导数的应用等知识，以及运算求解能力．
19．（本小题满分14分）
某投资公司在2010年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且
这两种情况发生的概率分别为
72和； 99311、和． 5315项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为
（1）针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由； （2）若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润＋本金）可以翻一番？
（参考数据：lg2?0.3010，lg3?0.4771）
解：（1）若按“项目一”投资，设获利?1万元，则?1的分布列为
?1 P 300 ?150 79 29 72?E?1?300??(?150)??20099元）. ?????????2分
（万
若按“项目二”投资，设获利?2万元，则?2的分布列为：
?2 P 500 ?300 0 3 51 31 152010年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试卷 第12页 共19页
311?E?2?500??(?300)??0??2005315元）. ?????????4分
又
（万
72D?1?(300?200)2??(?150?200)2??35000， ???????
99??5分
311D?2?(500?200)2??(?300?200)2??(0?200)2??140000，????
5315?????6分
所以E?1?E?2，D?1?D?2，
这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥． 综
上
所
述
，
建
议
该
投
资
公
司
选
择
项
目
一
投
资． ?????????8分
（2）假设n年后总资产可以翻一番，依题意：1000(1?n1.2?2，???10分
200n)?2000，即1000两边取对数得：n?所以大约
4
lg20.3010??3.8053．
2lg2?lg3?12?0.3010?0.4771?1年后，即在
2013
年底总资产可以翻一
番． ?????????13分
答：建议该投资公司选择项目一投资；大约在2013年底，总资产可以翻一番．???????14分
说明：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差、对数的运算等知识，以及运用这些知
识解决实际问题的能力． 20．（本小题满分14分）
B分别是直线y?已知A、P是AB的中点．
33x和y??x上的两个动点，线段AB的长为23， 33（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点Q(1,0)作直线l（与x轴不垂直）与轨迹C交于M、N两点，与y轴交于点R．若RM??MQ，RN??NQ，证明：???为定值． 解：（1）设P(x,y)，A(x1,y1)，B(x2,y2)．
PAB∵是线段
??????????????????的中点，
2010年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试卷 第13页 共19页
x1?x2?x?,??2∴? ??????????2分 ?y?y1?y2.??2
33x和y??x上的点， 3333∴y1?x2． x1和y2??33?x1?x2?23y,?∴?23 ?????
x.?y1?y2?3?∵A、B分别是直线y??????4分
又
????AB?23，
∴(x1?x2)2?(y1?y2)2?12． ??????????5分
∴12y?∴
242x?12， 3P动点
的轨迹
C的方程为
x2?y2?1． ??????????6分 9（2）依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为
y?k(x?1)． ?????????7分
设M(x3,y3)、N(x4,y4)、R(0,y5)，
?y?k(x?1),?则M、N两点坐标满足方程组?x2 2?y?1.??9y消去并整
理，得
(?k21∴
x2?9， x 9分 k ) ?1???????????k8?9，
①
918k2x3?x4?1?9k29k2?9x3x4?． ② ??????????10分
1?9k2∵RM??MQ，∴(x3,y3)?(0,y5)???(1,0)?(x3,y3)?． 即??x3??(1?x3),∴x3??(1?x3)．∵l与x轴不垂直，∴x3?1，
y?y???y.53?32010年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试卷 第14页 共19页
∴
??x31?x3，同理
??x4． ??????????12分 1?x4(x?x)?2x3x4x3x∴????． ?4?341?x31?x41?(x3?x4)?x3x4将
①②
代
入
上
式
可
得
9?????． ??????????14分
4说明：本题主要考查直线与椭圆的的有关知识、求轨迹方程的方法，以及运算求解和推理论证能力．
21．（本小题满分14分）
在单调递增数列{an}中，a1?1，a2?2，且a2n?1,a2n,a2n?1成等差数列，
a2n,a2n?1,a2n?2成等比数列，n?1,2,3,?．
aaaa（1）分别计算3,5和4,6的值；
a1a3a2a4（2）求数列{an}的通项公式（将an用n表示）；
4n1（3）设数列{}的前n项和为Sn，证明：Sn?，n?N*．
n?2an解：解：（1）由已知，得
a3?3，a5?6，a4?92，
a6?8 . ??????????2分
（2）（证法1）a1?21?262?3123?4??，a3??，a5?，……； 222222223242a2?，a4?，a6?，…….
222∴
猜
想
a2n?1n(n?1)?2,
a2n(n?1)2?2，
n?N*， ??????????4分
以下用数学归纳法证明之． ①当n?1时，a2?1?1?a1?1，a2?122??2，猜想成立； 22010年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试卷 第15页 共19页