②假设n?k(k?1,k?N*)时，猜想成立，即a2k?1那么
k(k?1)(k?1)2?,a2k?，
22(k?1)2k(k?1)(k?1)?(k?1)?1?, a2(k?1)?1?a2k?1?2a2k?a2k?1?2???2222?(k?1)(k?2)?222(k?1)?1a2??(k?2)2. a2(k?1)?a2k?2?k?1???2a2k22(k?1)2∴n?k?1时，猜想也成立．
由①②，根据数学归纳法原理，对任意的n?N*，猜想成立． ???????6分
n?1?n?1??1??2?2??(n?1)(n?3)∴当n为奇数时，an?；
282?n???1?(n?2)22???当n为偶数时，an?．
28即数列的通项{an}公式为
?(n?1)(n?3),n为奇数??8． ????????9分 an??2?(n?2),n为偶数??87?(?1)n121（注：通项公式也可以写成an?n?n?）
8216a（证法2）令bn?2n?1，n?N*，则
a2n?1bn?12a22?k?1?a2k?1a2a?a2k?1a2k2a?2k?3?2k?2??2k?1?1 a2k?1a2k?1a2k?1a2ka4?2k?12a2k?1a2k?14bn??1??1??1． a2k?1?a2k?1a2k?11?bn1?2a2k?12010年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试卷 第16页 共19页
2(bn?1)(b?1)?2111，． ?n??1?bnbn?1?12(bn?1)2bn?111111从而，n?N*，又??（常数）?，
bn?1?1bn?12b1?12111111n故{}是首项为，公差为的等差数列，∴??(n?1)??，
22bn?1bn?1222a2n?1n?2n?2bn?解之，得，即，?na2n?1nn?N*． ??????????6分
aaaaa∴a2n?1?a1?3?5?7???2n?3?2n?1
a1a3a5a2n?5a2n?3345nn?1n(n?1)?1????????，
123n?2n?12n(n?1)(n?1)(n?2)?a2n?1?a2n?1(n?1)222从而a2n?．（余同法??222∴bn?1?1?1）????????8分
a2n?2a，或令bn?2n，余下解法与法2类似） a2na2n?18?,n为奇数?1?(n?1)(n?3)（3）（法1）由（2），得． ??an?8,n为偶数2??(n?2)（注：本小题解法中，也可以令bn?显
然
，
S1?144?1； ???????????1??a131?210分
当n为偶数时，
?11111111? Sn?8??2??2??2????2?4?666?88n?(n?2)(n?2)??2?44??1?1??11??11?11?????8???????????????????2?42?44?64?66?86?8n?(n?2)n(n?2)??????????
??11??11??11?1???1?8???????????????????
244668nn?2??????????1?4n?1； ??????8????2n?2n?2??2010年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试卷 第17页 共19页
?????12分
当n为奇数（n?3）时，Sn?Sn?1?14(n?1)8 ??an(n?1)?2(n?1)(n?3)?n?14n2n?4n84n. ?4???????n?2?n?1(n?1)(n?3)n?2?n?2(n?1)(n?2)(n?3)n?24nSn?综上所述，，
n?2n?N*． ??????????14分
8?,n为奇数(n?1)(n?3)1??（解法2）由（2），得． ??an?8,n为偶数2?(n?2)?4n以下用数学归纳法证明Sn?，n?N*．
n?2144?1①当n?1时，S1?； ?1??a131?211134?2当n?2时，S2?．∴n?1,2时，不等式成立．????1???2?a1a2222?2?11分
②假设n?k(k?2)时，不等式成立，即Sk?那么，当k为奇数时，
4k， k?2Sk?1?Sk?1ak?1?4k8 ?2k?2(k?3)?k4(k?1)2k?1?4(k?1)8?4??????2k?3k?3?k?3(k?2)(k?3)2?k?2(k?3)4(k?1)?； (k?1)?2当k为偶数时，
14k8 Sk?1?Sk???ak?1k?2(k?2)(k?4)??k4(k?1)2k?1?4(k?1)8 ?4??????k?3k?2(k?2)(k?4)k?3k?3(k?2)(k?3)(k?4)??4(k?1)?． (k?1)?2?∴n?k?1时，不等式也成立．
2010年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试卷 第18页 共19页
由①②，根据数学归纳法原理，对任意的n?N*，不等式Sn?分
4n成立．??14n?2说明：本题主要考查等差数列、等比数列、递推数列的有关概念，考查归纳推理、数学归纳法、分类讨论、不等式的放缩等重要数学思想方法，并对学生的创新意识、推理论证能力、运算求解能力进行了考查．
命题人：李志敏、康达军、姚亮 审题人：
石永生
2010年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试卷第19页 共19页