§4.2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
基础自测
1.（2009·泰安模拟）sin2(?+?)-cos(?+?)·cos(-?)+1的值为 （ ）
A.1 B.2sin? C.0 D.2 答案 D
2.sin210°等于（ ）
2A.
322 B.-232
C.1 D.-1 答案 D 3.已知( )
A.?C.25tan?=
12,且?∈
?3????,?2??，则sin?的值是
555 B.
55
55 D.?2
?3???????2?答案 A 4.若
sin??cos?sin??cos?=2,则sin(?-5?)·sin等于
（ ）
A.3 B.?4310
C.
310 D.-
310答案 C
5.(2009·武汉模拟)已知sin?=
555，则sin4?-cos4?的值为 ( )
5A.?3 B.?1 C.1 D.3
55答案 A
例1 已知f(?)=sin(???)cos(2???)tan(????);
?tan(????)sin(????)（1）化简f(?);
3??1（2）若?是第三象限角，且cos??????，求f(?)的值.
?2?5解 （1）f（?）=sin??cos??(?tan?)=-cos?.
tan?sin?3??（2）∵cos?????=-sin?,
?2?∴sin?=-15∴f(?)=25,cos?=-652?122??655,
.
2例2 （12分）已知-?＜x＜0,sinx+cosx=1.
5（1）求sinx-cosx的值； （2）求
1cos2x?sin2x的值.
解 （1）方法一 联立方程：
1 ??sinx?cosx? 5??sin2x?cos2x?1 ?①②
2分
5由①得sinx=1-cosx,将其代入②，整理得 25cos2x-5cosx-12=0. 3分 ∵-?＜x＜0,
2
3?sinx???5∴???cosx?4?5?,
所以sinx-cosx=-7.
5
6分
5方法二 ∵sinx+cosx=1, ∴(sinx+cosx)
2
1?=????5?2,
即1+2sinxcosx=
125,
∴2sinxcosx=-24.
25
2分
∵(sinx-cosx)2=sin2x-2sinxcosx+cos2x
=1-2sinxcosx=1+24=49
2525
①
24分
又∵-?＜x＜0,∴sinx＜0,cosx＞0, ∴sinx-cosx＜0 ②
由①②可知：sinx-cosx=-7.
5
6分
（2）由已知条件及（1）可知
1?sinx?cosx???5??sinx?cosx??7?5?3?sinx???5,解得???cosx?4?5?,
8分
4∴tanx=-3.
又∵
9分
1cos2x?sin2x?
sin2x?cos2xcos2x?sin2x
sin2x?cos2x=
cos2xcos2x?sin2xcos2x
=
tan2x?11?tan2x
211分
.
?3?????1=?4?2?257?3?1?????4? 12分
例3 已知tan?=2,求下列各式的值： （1）2sin??3cos?;
4sin??9cos?2（2） 2sin2??3cos2?;
4sin??9cos?2（3）4sin2?-3sin?cos?-5cos2?. 解 （1）原式=2tan??3?2?2?3??1.
4tan??94?2?9（2）
2sin2??3cos2?4sin2??9cos2??2tan2??34tan2??9?2?22?34?22?9?5. 7（3）∵sin2?+cos2?=1,
∴4sin2?-3sin?cos?-5cos2? =
4sin2??3sin?cos??5cos2?sin2??cos2?tan??1
23tan??54?4?3?2?5=4tan????1. 24?1 1.化简
3???tan(???)cos(2???)sin?????2??cos(????)sin(????).
???(?tan?)?cos???(???)??sin??????2??解 原式=
cos(???)???sin(???)??????(?tan?)???cos(???)????sin??????2???(?cos?)?sin??tan??cos??(?cos?)?cos??sin?cos?cos?sin??sin?
=
=?=?tan??cos?
=?sin?=-1.
52.已知sin? +cos?=1,?∈(0,?).求值：
（1）tan?;（2）sin?-cos?;（3）sin3?+cos3?. 解 方法一 ∵sin?+cos?=1,?∈(0,?),
5∴(sin?+cos?)2=
25125=1+2sin?cos?，
∴sin?cos?=-12＜0. 由根与系数的关系知，
sin?,cos?是方程x2-1x-12=0的两根，
525解方程得x1=4,x2=-3.
55∵sin?＞0,cos?＜0,∴sin?=4,cos? =-3.
55∴（1）tan?=-4.
3（2）sin?-cos?=7.
5（3）sin3?+cos3?=
37. 125方法二 （1）同方法一.
（2）（sin?-cos?）2=1-2sin?·cos?
12?49=1-2×?. ???=
?25?25∵sin?＞0,cos?＜0,∴sin?-cos?＞0, ∴sin?-cos?=7.
5（3）sin3?+cos3?=(sin?+cos?)(sin2?-sin?cos?+cos2?)
12?=1×??1??=5?25?37. 1253.已知sin(?+k?)=-2cos(?+k?) (k∈Z). 求:（1）4sin??2cos?;
5cos??3sin?（2）1sin2?+2cos2?.
45解 由已知得cos(?+k?)≠0,
∴tan(?+k?)=-2(k∈Z),即tan?=-2. （1）4sin??2cos?5cos??3sin??4tan??2?10.
5?3tan?（2）1sin2?+2cos2?=
45122sin??cos2?452sin??cos2?=
12tan2??45?7.
25tan2??1
一、选择题 1.?是第四象限角，tan?=
?512，则sin?等于
（ ）
A.1 B.-1
55C.
513 D.-
513
答案 D
2.（2008·浙江理，8）若cos?+2sin?=-（ ）
A.1 B. 2
25,则tan?等于
C.?1 D.-2
2答案 B
3.（2008· 四川理，5）设0≤?＜2?,若sin?＞（ ）
3cos?,则?的取值范围是