习 题 1-1
1．计算下列极限
（1）limx?aa?xx?axa, a?0; a?ax?axa解：原式?lim[x?a?x?ax?aaa]=(a)?|x?a?(x)?|x?a
xa=aalna?a?aa?1=aa(lna?1) （2）limsinx?sinasin(x?a)x?a；
?(sinx)'x?a?cosa
x?a解：原式?limsinx?sinax?a（3）limn2(na?n??1nan?2), a?0;
a?1)?[(a)'2解：原式?lim1a1nn??n(px1/nx?0]?lna
22（4）limn[(1?n??)?1]，p?0;
解：原式?lim（5）limpp(1?1n)?1n??1n10?(x)?|x?1?px10pp?1x?1?p
(1?tanx)?(1?sinx)10x?0sinx(1?tanx)tanx?1x?0; (1?sinx)10解：原式?lim?lim?1x?0?sinx
99=10(1?t)|t?0?10(1?t)|t?0?20
m（6） limx?1x?1x?1n，m,n为正整数；
1m(xm)'x?1x?1?x?1n解：原式?limx?1x?1?x?11?nm
(xn)'x?12．设f(x)在x0处二阶可导，计算lim解：原式?lim
?limf?(x0?h)?f?(x0)2hh?0f(x0?h)?2f(x0)?f(x0?h)2h?0f?(x0?h)?f?(x0?h)2hh?0?limhf?(x0?h)?f?(x0)?f?(x0)?f?(x0?h)2h1212.
h?0
?limf?(x0?h)?f?(x)0?2hh?0?f??(x0)?f??(x0)?f??(x)0
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13．设a?0，f(a)?0，f?(a)存在，计算lim[x?af(x)f(a)]lnx?lna.
f(x)lnx?lna?lime解：lim[]x?ax?af(a)1lnf(x)?lnf(a)lnx?lna
?ex?alimlnf(x)?lnf(a)lnx?lna?elnf(x)?lnf(a)?x?ax?ax?alnx?lnalimf'(a)?ef(a)?a
习 题 1-2
1.求下列极限 （1）lim(sinx???x?1?sinx?1);
1[(x?1)?(x?1)]?0 ，其中?在x?1与x?1之间 解：原式?limcos??x???2?（2）limcos(sinx)?cosxsinx4;
sin?x?0解：原式=lim?sin?(sinx?x)x654x?0=?lim(x?0?)?()(x?sinx?xx3)=
16，其中?在x与sinx之间
（3） lim(x?x?x???66x?x);
1665解：原式?limx[(1?x???1x)?(1?1x1)]?limx?x???616(1??)?56?[(1?1x)?(1?1x)]
?lim13x???(1??)2?56?13 ，其中?在1?1n1?arctan11x与1?1x之间
（4） limn(arctann???解：原式?limn2?2n???1??n?11111与之间 (?)?1，其中其中?在
n?1nnn?11)?n1)?n?n);
?f(a?2．设f(x)在a处可导，f(a)?0，计算lim?n???f(a?.
1n)?lnf(a?1n))解：原式?limen??[limn??n(lnf(a?1n)?lnf(a?1n))?elimn(lnf(a?n??
lnf(a?1n1)?lnf(a)?limn??lnf(a?1n?)?lnf(a)1n]
?en?ef?(a)?f(a)?f(a)f(a)?2f(a)f(a)?e
习 题 1-3
1．求下列极限
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（1）lim(1?x)?1(1?x)?1??x?0,??0;
解：原式?lim?x?xx?0???
（2）lim1?cosxcos2x???cosnx1?x?12;
lncosx?lncos2x?????lncosnxx2x?0解：I?lim?lncosxcos2x???cosnx12x2??2limx?0x?0
??2limcosx?1?cos2x?1?????cosnx?1x1x?1e?1xx2x?0?limx?(2x)?????(nx)x2222nx?0??ii?12
（（3）limx?0);
解：原式?lime?1?xx(e?1)1x?0x?lim1e?1?xx2xx?0?lime?12xx?limx2xx?0x?0?12
（4）limx[(1?x)x?xx];
x???12ln(1?x)1lnx2解：原式?limx(ex???x?ex121)?limx?(ln(1?x)?lnx)?limxln(1?)
x???x???xx?limxx???1x?1
2. 求下列极限
1?cosx?lncosx（1）lim2; 2x?x2x?0e?e?sinx1212x?x22?1 解：原式?lim22x?02x?x（2）limln(x?e)?2sinxsin(2tan2x)?sin(tan2x)?tanxln(1?x?e?1)?2sinxsin(2tan2x)?sin(tan2x)?tanx?4
xxx?0;
x?e?1?2sinxsin(2tan2x)?sin(tan2x)?tanxx解：原式?limx?0?limx?0
?limx?x?2x4x?2x?xx?0习 题 1-4
1．求下列极限
（1）limn(1?nsinn??21n)；
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解：原式?limn2[1?n(n??31n?113!n3?o(1n))]?lim(3n??13!?o(1))?16
（2）求limex?1?x63x?0sinxx3；
x6解：原式?lime?1?xx63x??limx?032?o(x)?xx663x?0?12
（3）lim[x?x2ln(1?x??1x1x)]； ?12x2解：原式?lim[x?x2(x???o(1x))]?212
（4）lim(1?x???1x)e2x2?x；
1x)?x]解：原式?limex??[xln(1??e?12
此题已换3．设f(x)在x?0处可导，f(0)?0，f?(0)?0.若af(h)?bf(2h)?f(0)在
h?0时是比h高阶的无穷小，试确定a,b的值.
解：因为 f(h)?f(0)?f?(0)h?o(h)，f(2h)?f(0)?2f?(0)h?o(h) 所以0?limaf(h)?bf(2h)?2f(0)h?lim(a?b?1)f(0)?(a?2b)f?(0)?o(h)hh?0h?0
从而 a?b?1?0 a?2b?0 解得：a?2,b??1 3．设f(x)在x0处二阶可导，用泰勒公式求lim解：原式
f(x0)?f'(x0)h??limh?0f(x0?h)?2f(x0)?f(x0?h)h2
h?0f''(x0)2!h?o1(h)?2f(x0)?f(x0)?f'(x0)h?h222f''(x0)2!h?o2(h)22?limf''(x0)h?o1(h)?o2(h)h2222h?0?f''(x0) sinxx24. 设f(x)在x?0处可导，且lim(x?0?f(x)xx2)?2.求f(0),f?(0)和lim1?f(x)xx?0.
解 因为 2?lim(x?0sinxx2?f(x)x)?limsinx?xf(x)x?0
?lim2x?o(x)?x?f(0)?f?(0)x?o(x)?x?0x2
?lim
22(1?f(0))x?f?(0)x?o(x)x?0x2
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所以 1?f(0)?0,f?(0)?2,即f(0)??1,f?(0)?2 所以 limx?01?f(x)x1?f(0)?f??limx?0x(0x)?ox()2x?o(x)?lim?x?0x 2
习 题 1-5
1. 计算下列极限
111????2n; ; (1) limn??n1解：原式?lim(2)limn?1n?1?2?limn?1?n?1nn??nnn???2
1?a?2a?????nanan??n?2n??(a?1)
?limnna?(n?1)a2解：原式?limnanan?2nn?1n??2?(n?1)an???1a?a2
2． 设liman?a，求 (1) limn??a1?2a2???nannnan2n?1a2；
解：原式?lim(2) limnann?(n?1)n1an22?limn??n???
n??1a1?1a21a1，ai?0,i?1,2,?,n.
????1a2???n1an?lim1ann??解：由于lim所以limn???1a，
n1a1?1a2???1ann???a
3．设lim(xn?xn?2)?0，求limn??n??xnnn??和limxn?xn?1n.
n??解：因为lim(xn?xn?2)?0，所以lim(x2n?x2n?2)?0
n??且lim(x2n?1?x2n?1)?0
n??从而有stolz定理lim且limx2n?1?limx2n2nn???limx2n?x2n?22n???0，
?0
2n?1n??2xx?xn?1xn?1xn?1?limn?lim?0 所以limn?0，limnn??nn??n??n??nnnn?1n??x2n?1?x2n?1 5 / 27