解：由un'(x)?2nxn(1?nx)1n32322?0对任意的x?[0,1]成立，从而
1n30?un(0)?un(x)??ln(1?nx)?un(1)??22ln(1?n)?22ln(1?n)n3?2n2
而?n?12n2收敛，由M判别法知?un(x)在[0, 1]上一致收敛
n?1?（1）un(x)?C[0,1]，?un(x)在[0, 1]上一致收敛，所以和函数在[0, 1]连续（定理1）
n?1?（2）un(x)?C[0,1]，?un(x)在[0, 1]上一致收敛，所以和函数在[0, 1]可积（定理2）
n?1（3）由un'(x)?1n2?，?n?11n2?收敛，由M判别法知?un'(x)在[0, 1]上一致收敛，从而
n?1和函数在[0, 1]可微。（定理3）
习 题10-1
1．一块金属板平底锅在xOy平面上占据的区域是D?{(x,y)|0?x?1,0?y?1}, 已知板上点(x,y)处的温度为T?720xy(1?x)(1?y).锅底上点P0?(,)处的蚂蚁为了逃向温
4311度更低的地方, 它的逃逸方向为( D ).
A.{?9,16}； B.{9?, C.{?16,?9}； D.{16,9}. 1；6}解：gradTp0?(80,45)?5(16,9)，而梯度方向是温度降低最快的方向
2．一个高l为的柱体储油罐，底面是长轴2a为，短轴为2b的椭圆，现将储油罐平放，当油罐中油面高度为?kg/cm）.
332b时，计算油的质量。（长度单位为m，质量为kg，油的密度为常数
解：储油罐平放一般指长轴平行与地面，当油罐中油面高度为b时，垂直地面的截面面积
2b3为S??2?b2abb?ydy?(222?3?346)ab（平方米）
所以m??V??(2?3?34)abl?10 kg
2234． 在一个形状为旋转抛物面z?x?y的容器内，已经盛有8?cm的水，现又倒入
26 / 27
3120?cm的水，问水面比原来升高多少cm.
解：旋转抛物面容器的体积是深度h的函数， V(h)?2???2dV??h0dz2??dxdy?x?y?z?hx?y?z2?h0?zdz??h22，从而h?2V(h)?，所以题中水
面升高的高度为?h?2V(h2)??2V(h1)??2?128???2?8???12cm
习 题10-3
1. 设x??1，证明：
（1）当0???1时，?1?x??1??x； 证明：取f(x)??(1?x)?，则f('x)??1(??)x??1?，f''(x)???(??1)(1?x)??2?0，
所以f(x)为(?1,??)上的严格凸函数，从而对?x,x0?0?(?1,??)，由定理6.2.3，恒有f(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0)，即?(1?x)???1??x
所以(1?x)??1??x
（2）当??0或??1时，?1?x??1??x ．
证明：取f(x)?(1?x)?，则f'(x)??(1?x)??1，f''(x)??(??1)(1?x)??2?0， 所以f(x)为(?1,??)上的严格凸函数，从而对?x,x0?0?(?1,??)，由定理6.2.3，恒有f(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0)，即(1?x)??1??x
2x2. 设0?x?1. 证明: e??1?x1?x.
证明：令f(x)?(1?x)e
2x?(1?x)，利用单调性可证（略）
27 / 27