4．设0?x1?1q，其中0?q?1，并且xn?1?xn(1?qxn)， 1q1q证明：limnxn?n??. ，所以
证明：因0?x1?x2?x1(1?qx1)?0?x2?1q1qx1?(1?qx1)211()??，所以 q24qq1q，用数学归纳法易证，0?xn?。
又
xn?1xn?1?qxn?1，从而xn单调递减，
n??n??由单调有界原理，limxn存在，记limxn?L 在xn?1?xn(1?qxn)两边令n??，可得limxn?0
n??所以limnxn?limn??n1xnn???lim11xn?1?1xn
n???limxnxn?1xn?xn?1n???limxnxn(1?qxn)xn?xn(1?qxn)n???lim1?qxnqn???1q
习 题 1-6
1. 设f(x)在(a,??)内可导，且lim证明:limf?(x)?A.
x???f(x)xx????A, limf?(x)存在.
x???证明：A?limf(x)xx????limf?(x)1x????limf?(x)
x???2. 设f(x)在(a,??)上可微， limf(x)和limf?(x)存在.
x???x???证明:limf?(x)?0.
x???证明：记limf(x)?A（有限），limf?(x)?B（有限），则
x???x???A?limf(x)?limx???ef(x)exxx????limxxef(x)?ef?(x)x???ex?A?B
从而B?0 所以limf?(x)?0
x???3. 设f(x)在(a,??)上可导，对任意的??0,
lim[?f(x)?xf?(x)]??，证明:limf(x)?x?????x???.
证明：因为??0，所以limx???，由广义罗必达法则得
x???? 6 / 27
x???limf(x)?limxf(x)x??x????lim?x??1?f(x)?xf?(x)x????x??1
?lim[f(x)?x???x?f?(x)]???
f(x)xlnx1lnx?1?0. ?0，
4．设f(x)在(a,??)上存在有界的导函数，证明:lim证明：limf(x)xlnx?limf?(x)x???lnx?1f(x)f?(x)所以lim?lim?0
x???xlnxx???lnx?1x???x???，f?(x)有界，limx???习 题 2-1
（此题已换） 1. 若自然数n不是完全平方数，证明n是无理数. 1.证明3是无理数 证明：反证法. 假若3?qp(p,q?N,且p,q互质)，
于是由3p2?q2可知,q2是p2的因子，从而得q2?1即p2?3,这与假设矛盾 2. 求下列数集的上、下确界. （1）?1???1? n?N?, n?解：supE?1,infE?0
??1?n)n?N?, n?（2）?(1?解：supE?e,infE?2 （3）?(?1)???n1n(?1)n?1?n?N?,
?解：supE?1,infE??1 （4）?y|y?x2, x?(?1, )?.
?2??1?解：supE?1,infE?0
3．设E??x|x2?2,x?Q?，验证infE??2. 2证明：?x?E,由x?2得x??2??2是E的一个下界.
7 / 27
另一方面，设?1??2也是E的下界，由有理数集在实数系中的稠密性， 在(?2,?1)区间中必有有理数x?，则x?2?2?x??E且x???1??1 不是E的下界.按下确界定义， infE??2. 4．用定义证明上（下）确界的唯一性.
证明：设?为数集E的上确界，即??supE.按定义，
?x?E有x??.若??也是E的上确界且
????.不妨设????，则对???????0,?x0?E 有x0????(????)即x0??, 矛盾. 下确界的唯一性类似可证
习 题 2-2
1．用区间套定理证明：有下界的数集必有下确界.
证明：设a是E的一个下界，b不是E的下界，则a?b. 令c1?12(a?b)，若c1是E的下界，则取a1?c1, b1?b；
若c1不是E的下界，则取a1?a, b1?c1. 令c2?12(a1?b1)，若c2是E的下界，则取a2?c2, b2?b1；
若c2不是E的下界，则取a2?a1, b2?c2；……， 按此方式继续作下去，得一区间套{[an,bn]}，且满足：
an是E的下界，bn不是E的下界(n?1,2,?).
由区间套定理???[an,bn] n?1,2,?，且liman?limbn??.
n??n?? 下证??infE：
(1)?x?Ex?an (n?1,2,?) 都有，而
??liman?x??n??，
即?是E的下界.
(2)?????,由于limbn??，从而当n充分大以后，
n??有bn???.而bn不是E的下界???不是E的下界，即?是最大下界
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2. 设f(x)在[a,b]上无界.证明：存在x0?[a,b], 使得f(x)在x0的任意邻域内无界.
证明：由条件知，f(x)在[a, (a?b)2]上或[(a?b)2, b]上无界， 记使f(x)在其上无界的区间为[a1,b1]；再二等分[a1,b1]， 记使f(x)在其上无界的区间为[a2,b2]，……，继续作下去， 得一区间套{[an,bn]}，满足f(x)在[an,bn](n?1,2,?)上无界. 根据区间套定理，?x0?[an,bn] n?1,2,?，且liman?limbn?x0.
n??n??因为对任意的??0，存在N，当n?N时，有[an,bn]?(x0??,x0??)，从而可知f(x) 在(x0??,x0??)上无界
3.设f(x),g(x)在[0,1]上满足f(0)?0,f(1)?0,若
g(x)在[0,1]上连续, f(x)?g(x)在[0,1]上单调递增.
证明：存在??[0,1],使f(?)?0.
证明：记a1?0,b1?1且二等分[0,1].若f()?0，
211,b1?1;若f()?0,则记a2?0,b2?. 222a?bn)?0， 类似地,对已取得的[an,bn]二等分,若f(n21则记a2?1则记an?1?an?bn2,bn?1?bn；若f(an?bn2an?bn2)?0，
则记an?1?an,bn?1?.按此方式继续下去，
得一区间套{[an,bn]}，其中f(an)?0,f(bn)?0. 根据区间套定理可知，???[an,bn],n?1,2,3?, 且有 liman???limbn.
n??n??因为g(x)在[0,1]上连续，所以g(an)?g(?),g(bn)?g(?)(n??). 注意到 g(an)?f(an)?g(an)?f(bn)?g(bn)?g(bn) 可得 g(?)?lim[f(an)?g(an)]?lim[f(bn)?g(bn)]，
n??n??
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再由 f(an)?g(an)?f(?)?g(?)?f(bn)?g(bn) 可知 g(?)?f(?)?g(?)?g(?) ， f(?)?0.
习 题 2-3
1. 证明下列数列发散. (1)xn?122n?112n12n?1???1, x2n?1???0， 24n?124n?3?(?1)nn, n?1,2,?;
证 因为x2n(n??) 所以{xn}发散.
(2)yn?1n?2n?3n???(?1)n2n??12n?1nn, n?1,2,?.
n?12n?1?12, (n??)
证明：因为y2n??所以{yn}发散.
, y2n?1?2．证明:单调数列收敛的充要条件是其存在一个收敛子列. 证明：?由收敛数列与子列的关系，结论显然
? 不妨假设数列{xn}单调递增，且存在收敛子列limxk??nk?A，
由极限定义
对任意给定的??0，总存在正整数K1，当k?K1时，xnk?A从而有A???由于lim??，
xn?A??k；
k??nk??，对任意n，存在正整数K2?K1，
当k?K2时，nk?n，取N?nk21?1，
则任意n?N时，A???xnk?1?xN?xn?xnk?A??
12所以xn?Axn??，即limn???A
3. 设极限lim(asinx?bcosx)存在,证明：a?b?0.
x???证明：记lim(asinx?bcosx)?A由海茵定理，
x???(1)取xn?2n????(n???)，得b?A
取xn(2)?2n???2???(n???)，得a?A
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