第四册参 考 答 案
第七章 §7.4
nx11.（1）y?(1?x)[1?； （2）?ln(1?x)?C]y?x(e?C)； x（3）y?(x?C)e?sinx； （4）x?Clny?lny?lnlny； （5）x?Cy3?12cosx. y2； （6）y???1?x3x?32.y?x(1?4lnx). 3.?(x)?13e?1(x?1). 9334122414.（1）y?1?Cx； （2）； （3）x?y(?2lny?C). y?x(lnx?C)?lnx2§7.5
1.（1）y?(x?3)ex?C1x2?C2x?C3； （2）y?C1lnx?C2；
（3）y??lncos(x?C1)?C2；
??C1sh(x?C2), y???1 ,C1??x （4）y?? C1sin(C?C2), y??1 , （5）y?arcsin(C1ex)?C2.
1?x C1sh(C?C2), y??1 ;?1?42.（1）y?lnsecx； （2）y?(1. x?1)2§7.6
1.y?(C1x?C2)e，y?2xe. 3.y?C1x?C2x2?ex；
x2x2第七章 总复习题
1.（1）B；（2）C；（3）A；（4）A；（5）D；（6）D；（7）B；（8）A；（9）B；（10）C. 2.（1）y?(x?C)cosx； （2）y?ex(C1cosx?C2sinx?1)；
（3）y?C1e?2x?(C2?14x)e?2x； （4）y?(C1?C2x)e?2x?1x2e?2x； 2（5）(x?4)y4?Cx； （6）y?C1cosx?C2sinx?2x； （7）y?e?x(C1cos2x?C2sin2x)； （8）y?e?sinx(xlnx?x?C)； （9）y?2lny?x?1； （10）y?(C1?C2x)ex?x.
x2z??(u)(exsiny)2?f?(u)exsiny，?z???(u)exsiny，cosy)?f3.（1）? 2?f2?f(u)(e?x?y22代入原“偏微分方程”而化为 f??(u)?f(u)?0，故 f(u)?C1eu?C2e?u； （2）由题意知
?[f?(x)?x2y]?x?f??(x)?2xy?x2?2xy?f(x)??u?x?[xy(x?y)?f(x)y]?y，则f(x)
满足f??(x)?f(x)?x2，且f(0)?0, f?(0)?1，求得 f(x)?2cosx?sinx?x2?2， 再由P?xy(x?y)?[2cosx?sinx?x2?2]y? 和 Q?cosx?2sinx?2x?x2y
?u?y22 求得 u(x,y)?ycosx?2ysinx?1xy?2xy，故全微分方程的通解为 222ycosx?2ysinx?1xy?2xy?C； 2?（3）x3?x2y?xy2?C（全微分方程，通过凑微分即可找到u(x,y)，从而易得其解）；
1
（4）由线性叠加原理并观察可发现：y1?y3?e?x 和 (y3?y2)?2(y1?y3)?e2x应 是对应的齐次方程的解，所以齐次方程为y???y??2y?0；再把y1(或y2)代入方程的左端，可知非齐次项应为f(x)?(1?2x)ex，故该微分方程为y???y??2y?(1?2x)ex； （5）这是简单的积分方程，两端求导得f?(x)?3f(x)?2e2x，即f?(x)?3f(x)?2e2x 且f(0)?1，于是转化成了一阶线性方程的初值问题，容易求得f(x)?3e3x?2e2x； （6）把二重积分化为极坐标得
2? 0 2?d?? 2t 0f(1?)?d??2??22 2t 0f(1?)?d?，并对原方22程两端求导得f?(t)?8?te4?t?2?f(t)2t?2，即f?(t)?8?tf(t)?8?te4?t且f(0)?1 容易求得该一阶线性方程初值问题的解为 f(t)?(4?t?1)e2（7）旋转体的体积V(t)??[tf(t)?f(1)]??34?t2；
? 1 tf2(x)dx，约去?并两端对t求导得
3x21[2t3y?f(t)?t2f?(t)]?f2(t)，即y?f(x) 满足 y??2xy2，这是齐次方程，也是
xn?2的贝努利方程，其通解为y?1?C，而要求的特解为y?x3； x31?x?(x)?2，y??2y?2的通解为y?C1e2x?1；?(x)?0，（8）当x?1时，当x?1时，
y??2y?0的通解为y?C2e2x.由y在(??, ??)内连续，特别在x?1处连续，应有
22?22x?x?1,?Ce?1, y?，故通解为 ?C?e??22x??(C?e)e, x?1,C1e?1?C2e，所以C2?C1?e?22x?? e?1 , x?1,而满足条件的特解（C?1）为 y??
?22x??(1?e)e, x?1 ;（9）f(x)?C1lnx?C2.
4.①y?e
?ax x? 0f(t)e x 0atdt； ② 由①知：若f(x)?k，则当x?0时，便有
x xy(x)?e?ax?f(t)eatdt?e?ax? f(t)eatdt?ke?ax? eatdt?k(1?e?ax). a 0 0第八章 §8.2
1.??2；???4. 2.13{1, ?1, 1}或?13{1, ?1, 1}.
3.z??4时最小，最小夹角为?. 44.?3. 25.（1）2(a?b)； （2）3a?(b?c)；
（3）2(a?b)?c； （4）a?b.
227.设e?{x,y,z}，则e?x2?y2?z2?1，e?c?2x?2y?z?0，又e、a、b共
面，可知 2y?z?0, e?{2, 1, ?2} 或 e??{2, 1, ?2}. 333333
2
8.3
1.双曲柱面；单页双曲面；椭圆抛物面；椭圆抛物面. 2.(y?z)2?4(x?2z)?0.
x2y2(z?1)2???0. 3.
25944.（1）绕y轴：x绕z轴：
z242?z24?y29?1（单叶双曲面）；
?x2?y29?1（双叶双曲面）；
(2x?y?z)2(2y?x?z)2?? （2）
33(2z?y?x)2(x?y?z)2?
385.（1）x2?y2?2z2?2z?1?0；
2（2）?.
3§8.4
1.（1）直线； （2）椭圆； （3）抛物线； （4）圆. 2.x?32cost, y?32sint, z?3sint，0?t?2?.
第八章 总复习题
1.4. 2.1. 3.30. 4.2x?2y?3z?0. 5.y?z?0. 6.x?3y?z?4?0. 7.x?3y?z?2?0. 8. (?5, 2, 4). 9. 3x?4y?z?1?0和x?2y?5z?3?0.
第九章 §9.4
1.（1）
ex?3x2ex3ex?ex3； （2）0；
?)； 3x2f2??x3f12???x3yf22??； （3）2xf?x2(f1??yf2（4）(2uv?v2)cosy?(u2?2uv)siny； ?(2uv?v2)xsiny?(u2?2uv)xcosy； （5）ae2?1[a(y?z)?acosx?sinx].
?f?f????????x]. 2.?x??y[??x?t?f3.证：?x??f???ff2x??2y， ????y?f???f??ax(?2y)?2x，
?2f??2?2f?x2???f2???2f?2x[??22x??2f?????2f2y]?2y[????2x?2y]
22?f4x??2?2f?8xy????222?f?4y??22?f?2?? ， ①
22?2f?y2?f?f?f?f?f??2??2y[(?2y)?2x]?2x[(?2y)?2x] 2?????????????2接下来只要按照一元函数的求导法则去求导即可. ?4y2
?2f??2f2?8xy???4x???2?2f??2?f?2?? ， ②
求导数，搞清楚这三个“谁”，你才能正确的使用链式法则，是函数，“谁”是中间变量，“谁”是自变量以及“谁”对“谁”法则”是一个重点，也是一个难点，关键是一定要分清楚“谁”二元复合函数的偏导数，特别是二阶偏导数的“链式3
?2f?x2?2f?y2?2f??22∴
??4(x?y)22?4(x?y)222?2f??2
f?f?4(x2?y2)[?]?0. 2?????2?z?4.证：?x?2xyf?(u)f2(u)?z?， ?y1?f(u)?yf?(u)(?2y)f2(u)，
∴ 1x?z?x?1y?z?y?1[x2?2xyf?(u)1f(u)?2yf?(u)]?[]?yf1(u)yf2(u)f2(u)?zy2.
5.?6.exy2f1??1f? ； ?z2；?2e?y2yz2f2?.
yx3?2ye. ???12f2??x3f22???12g??7.f1??xyf11yyx?x22?y2g??.
§9.5
1.（1）?dx?dy； （2）-1，1.
z要认真区分题2三种方法2.（1）F?e?xyz, Fx???yz, Fz??e?xy， 的不同之处，特别提醒的是：微Fx??z分运算的最大好处就在于它是???ezyz∴ ?； xFz??xy不用管谁是函数，谁是中间变量yzez?zez?z1z?z（2）z?xy, ?x??2?xye??x，∴?x?z； 还是谁是自变量的（都是变量），xye?xy这会给运算带来很大方便，而链（3）dez?dxyz?ezdz?yzdx?xzdy?xydz
式法则却完全相反，要注意嗷！ ?xzdyyz?zxz?z??dz?yzdx?，∴ ?，. zzz?yxe?xyze?xye?xy3.dz?dx?2dy
vx?uyvy?uxsinvcosv?eu4.2；. 5.； ； 222eu(sinv?cosv)?1u[eu(sinv?cosv)?1]x?yx?y?cosveu(sinv?cosv)?1e?sinv； u[eu(sin. 6.f(x?y)?xf?(x?y)(1?Fx?).
v?cosv)?1]yuF?§9.6
1；点(?1, 1, ?1)处的切线方程为 1.共有两条，两切点分别为 (?1, 1, ?1) 和 (?1, 1, ?27)391 处的切线方程为 ?1，而点 (?1, 1, ?27)??z339?1?3?3. 2.(?3, ?1, 3)； x1?y3?z1x?11y?1?2x?131?y?1?29?z?1327.
3.提示：视x为参数，则曲线方程为 x?x, y??2x, z?2?x，
任意点的切向量T?{1, ?1, x?1?1}，所求切线为 x122?x?y?2?1?z?1?12；
而法平面为 (x?1)?(y?2)?1(z?1)?0. 224.(x?2)?2(y?1)?0 即 x?2y?4； x??1y?12y?1x?2??,?z ，即 12 ?0??? z?0.5. 2x?4y?z?5.
6.提示：曲面上任一点P(a,b,c)处的法向量为 n?{f2? , f1? , ?mf1??nf2?}，该法向量与
定方向s?{n, m, 1}垂直，故切平面与定直线（以s为方向向量）平行.
7.提示：曲面上任一点P(x0,y0,z0)处的法向量为 n?{1, 1, 1}，点P处的切
2x02y02z0 4
12x0
xax0(x?x0)?21y(y?y0)?21z(z?z0)?0，即
00?yay0?zaz0?1，它在三坐标轴上的截距之和为
ax0?ay0?az0?a(x0?y0?z0)?aa?a是常数.
评注：空间曲线上一点处的切线与法平面的核心是曲线在此点的切向量，而曲面上一点处
的切平面与法线的核心是曲面在此点的法向量.
第九章 总复习题
1.（1）D； （2）A； （3）C； （4）C. 2.0. 3.不连续. 4.0.
2xy3x2(x2?y2)???222, (x,y)?(0, 0),?222, (x,y)?(0, 0),?(x,y)??(x?y)5.fx?(x,y)??(x?y) fy??(x,y)?(0, 0); (x,y)?(0, 0).? 0, ? 0, ??e2x?11???exy?12???yex?21???y2?22???6.e?1xy2x3[f??f??].
7.
zf1??f2?1?xf1?dx?1?x2f?dy；
1f?zf1??f2?1?xf1?； ?1?x2f?. 8.??0或?.
1f?9.有两个，切点分别为(3, 1, 1)和(?3, ?17, ?17)，切平面分别为 9x?y?z?27 和
8e?9x?17y?17z?27. 10.10?.
2611.三角形的三个顶点分别为A(3, 1) , B(?3, 1) , C(0, ?2)或A?(0, 2), B?(?3, ?1), C?(3, 1). 12.最冷点（2，-1）；最热点（0，4）.
第十章 §10.3（1）
1.（1）?dx? ?1 1 0 1 1?x2 0dy?f(x,y,z)dz； （2）?dx? 0 0 y 1 1?x2 0 ydy? 0 xy 0f(x,y,z)dz. ezdz?7?e；2I??dx?2.（1）
（3）
2(1?x) 0dy?1 (6?6x?3y)2xydz 01?10； （2）I??dy?dx? 1 x?y 0 0?； 6（4）I?? 0dx? 0 1 1?x2dy? 1?x2?y2 0xyzdz?1. 48§10.3（2）
1.（1）? dx? ?1 1 1?x22 ?1?x 1 dy? ? 2?x2?y222 x?yf(x2?y2?z2)dz；
（2）（3）
? 0 2? d?? d?? 0 2??2f(?2?z2)?dz；
? 0 2? 2?d?? ? 34 0 0d?? 2 0f(r)r2sin?dr.
2.（1）? （2）
0d?? d?? 13 0 9??2 ??2dz?324?5；
? 0 2?d?? ?d?? 2? 0 2? 02cos2?dz?5?.
3.（1）原式=?（2）原式=
d?? ?4 052)d?? r4sin3?dr?(8?30?；
0 1? 0 2?d?? ?4 0d?? 2acos?3 04. rsin?cos?dr?7?a6 5