提示：利用两类曲面积分之间的关系、高斯公式证明.
12.因为P?xx?y2?z22, Q?0, R?z2x?y2?z22，则P, Q, R在S所围成的闭区域上有不连续
点（不妨叫“奇点”），所以，高斯公式不能用.可分片计算如下：
?? S上???z222 z?R上x?y?z2dxdy??? DxyR2x?y2?R22dxdy，
?? S?? S下???z2222 z??R下x?y?zxx2?y2?z2dxdy???? Dxy(?R)2dxdy，与上面积分正好抵消；
x2?y2?(?R2)2dydz?1?R. 2侧?2?? S前dydz?2?? DyzR2?y2R2?z213.解法一：原式??? S?1[a?? S1a[axdydz?(z?a)2dxdy]
上上(z?a)2dxdy??? S前半后axdydz??? Dyz S后半前axdydz]
?1[a?? Dxy(a?a2?x2?y2)2dxdy??????aa2?y2?z2dydz a(?a2?y2?z2)dydz]
Dyz?1[a?? Dxy(a?a2?x2?y2)2dxdy?2a??* Dyz3. a2?y2?z2dydz]??1?a2?x2?y2?a2, 解法二：补上有向平面S:?（取下侧），则
z?0,?原式?1a?? S[axdydz?(z?a)2dxdy]
上?1[a?? S?S*axdydz?(z?a)2dxdy???*axdydz?(z?a)2dxdy]（前一个用高斯公式）
S?1[????(3a?2z)dV???a ? Dxya2dxdy]（?为下半球体，Dxy为区域x2?y2?a2）
41[??aa?41[?2?aa?2??? zdV??a]? ?4?2? 2? 0d???d?? 0 a 0 ?a2???3. zdz]??a2214.100小时.
第十二章 §12.3
1.（1）[?3, 3)； （2）[?1, 1)； （3）(?2, 2)； 33（4）[?1, 0)； （5）[?3, 3]； （6）(??, ??).
1?x2.（1）S(x)?1； ln?1arctanx?x （?1?x?1）41?x21???xln(2?x), x?0, （2）S(x)?? （?2?x?2）；
1 , x?0,?2?2（3）S(x)? （?1?x?1）； 3(1?x)（4）S(x)?sinx?xcosx （???x???）.
§12.4
(lna)nn1.?x, x?(??, ??).
n!n?0? 11
?21?(?1)n42n2n2.（1）?? x, x?(??, ??)； （2）??[1?n?1]xn, x?(?1, 1)；
2n?02?(2n)!3n?0?(?1)n?1n(?1)n2n?1（3）lna??；（4）?x, x?(?a, a]x, x?(??, ??). n(2n?1)(2n?1)!n?1nan?0?n：按照定义把函数直接展开3.?xn?1 (x?0) , S?1. n?1(n?1)!为泰勒级数（或麦克劳林级数）?4.（1）?(?1)n(n?1)(x?1)n, x?(0, 2)；
n?0?1?(?1)n?1（2）(x?1)n, x?(0, 2]. ?ln10n?1n32n?1?5.?(?1)(x?)2n?1，x?(??, ??).
(2n?1)!3n?1?n6.?(n?0?12n?1?3n，x?(?6, ?2). )(x?4)n?11是最基本的方法，缺点是计算量大且余项不易研究；而采用间接的展开法并利用幂级数的一些运算性质以及一些已知的展开式等却是最常用的方法，其优点是简单实用；另外，把求和公式倒过来看恰好就是展开式，因此，求和与展开密不可分. §12.5
1.（1）1.0986； （2）0.9994. 2.5. 3.??n?02nn?ncos?x，x?(??, ??). n!4第十二章 总复习题
1.（1）C； （2）D； （3）B； （4）C； （5）D.
2.（1）发散； （2）收敛； （3）收敛； （4）收敛； （5）收敛； （6）收敛.
nn3.提示：以un?为通项的正级数由比值判别法可知是收敛的，从而通项趋向于零.
2(n!)4.当0???1，?为任意实数时，原级数收敛；当??1，?为任意实数时，原级数发散； 当??1时，若???1，则原级数收敛；若???1，则原级数发散. 5.提示：an?? ?4 0tanxdx??x?04n ?4 0tan ? 0n?2x(secx?1)dx??2 ?4 0tann?2xdtanx?an?2
?tann?1?(n?2)?4tanxtann?3xsec2xdx?an?2
?1?(n?2)[an?an?2]?an?2?1?(n?1)an?2?(n?2)an，
∴ an?111.于是 ，即 ，从而 ?aa??aa?a?n?2n?2nnn?2n?1n?1n?1??11（1）(an?an?2)??1?1?1?1?1?1?1???1?n1???1； nnn?122334n?1n?1n?1??（2）显然，对一切n?N，an?对一切n?N， 0?an???? 04tan ?n 可知： xdx?0，又由 an?an?2?n1?11， 故对任意的常数?n?1?0，级数
?111????n??n?n?1?n1?? 收敛（p?1???1 的 p-级数）.
n?1n?1n?1an 12
6.（1）条件收敛； （2）a?1时，原级数绝对收敛；a?1时，原级数发散；
a??1时，原级数发散；a?1时，原级数条件收敛.
7.提示：由limf(xx)?0，又f(x)在x?0的邻域内具有连续的二阶导数，可推出f(0)?
x?00, f?(0)?0.将f(x)在x?0的某邻域内展成一阶泰勒公式（即麦克劳林公式）
221????（?在0与x之间）. f(x)?f(0)?f?(0)x?1f(?)?x?f(?)?x22又由题设知f??(x)在属于邻域内包含原点的一个小闭区间连续，从而有界，因此，存在正
数M?0，使得f??(x)?M，于是 f(x)?12f??(?)x2?M2，则 x2，令x?1nf(1)n?M2?1n2?1，因为?2收敛，故?f(1)绝对收敛. nn?1nn?1x?1(2?x)2??1?(1?1)ln(1?x), x?(?1, 0)?(0, 1),x8.（1）S(x)?? （2）S(x)? 0, x?0;? （3）S(x)?x1?2x2，x?(0, 2)；
，x?(?22, 2)2； （4）S(x)?2(x4??1)ex2x2，x?(??, ??).
9.
11. 110.（1）1；（2）11.(1?)(cos1?sin1). 2e2(?1)n?(2n?1)(2n?2)x2n?2，x?[?1, 1]. n?0?1?(?1)nx?12n1?(?1)n?1x?12n?112.2sin?，x?(??, ??). ()?2cos?()2n?0(2n)!22n?1(2n?1)!2?21?(2n?1)2cos(2n?1)?x，x?[?1, 1]；6. n?1(2n?1)?x8?115.f(x)??2?，x?(0, 2]. cos22?n?0(2n?1)5413.-1； 0. 14.f(x)??22??
13