2? ? ?4.（1）I??（2）I?（3）I? 0 2?d?? d?? ?sinzdz??3?4?；
0 ?? 0d?? ?4 0d?? 2cos?3 rsin?cos?dr1 cos?11； ?12?? 0 ?2d?? 1 0 ?4 0d?? 32 xy 0 0r4sin?dr?dz?1. 8486(52?1)?.
5.V????dV??dx? dy?? 0 x§10.4
22?z2?z21.D：x2?y2?9，dS?1?(?)?()dxdy?1?(2x)?(2y)dxdy， x?yS??? D1?4(x2?y2)dxdy??6(3737?1).
1?y2dxdy， 9?y2?z2?z22. D：x?y?1，dS?1?(?)?()dxdy?x?yS??? D1?y2dxdy9?y2). ?12(3?8?arcsin1323.. 333??3. 13； （2）4.（1）Ix?1ab, I?abI?ab, I?abyxy3344 评注：①二重积分最直接的应用是计算曲顶柱体的体积；
②用二重积分计算曲面面积的核心是：写出曲面的面元在相应的坐标面上的表示； ③用二重积分计算不同的物理量，因问题的性质的不同而有所差异.
第十章 总复习题
311.（1）80；
2? a ? acos?（2）(2?3?83（I)a9?? 0d?? ?d??? 0222 ??d?? 0?2d?）.
2? 02.（1）250?（令 3（2）?2y??cos?, z??sin?, x?x，则 I?? a b1? x2d?? 10 0d???2?3dx）；
2 5abc（提示：I??dx?4 ?aa22 ?b1? xa2dy? c1? x2a2? y2b2 0zdz 或“先二后一”为 ?y2b2z?1?c2是椭圆盘）.
2I??zdz??dxdy??ab?(1? 0 Dz 0 c cz2)zdzc2，其中Dz:x2a2256?. 34．提示：利用变限积分求导，先证明等式两端关于x的二阶导数相等，故应有
3.
? 0dv? 0du? 0f(t)dt??5.提示：利用变换?
x v u x1f2 0(t)(x?t)2dt?C1x?C2，
分别在上式及求导后的式子中令x?0，可得 C1?C2?0.
?x?y?t去做.
?x?y?u6
第十一章 §11.3
1.1?a4（用格林公式化为??(x2?y2)dxdy再利用极坐标计算）. 2 D2.（1）0（直接用格林公式，
?Q?x?y2?x2(x2?y2)2??P?y）； （2）2?（“挖掉原点”再用格林公
式：设C?是以原点为心，半径为?的顺时针圆周，则在由C和C?所围成的闭区域D?上用格林公式得
? C?C?QP所以，????(???)dxdy?0，?x?y D? C??? C??? C???，其中C?是逆时针圆周：x??cos?, y??sin? (0???2?)，把这方程代入上式右端积分的被积表达式中而化为定积分
? 0 2?d??2?）.
3.（1）0（直接用格林公式）； （2）2?（参照2（2）“挖掉原点”再用格林公式）.
4.1?ma2（添加直线段OA围成封闭曲线C?L?OA再用格林公式，则 8原式?? CPdx?Qdy?? OAa2??? mdxdy?0?m?1?()）. 22 D 评注：利用格林公式是简化平面内封闭曲线上曲线积分计算的重要而有效的方法，可分三
种情况：①曲线是封闭的，且被积表达式中的函数在曲线所围成的闭区域上有连续的一阶偏 导数，则直接用格林公式简化（如题1、2（1）和3（1））；②曲线虽是封闭的，但被积表 达式中的函数在曲线所围成的闭区域内有“奇点”，则不能直接用格林公式，而是要用很小 的圆包住奇点再“挖掉”它，在曲线与圆所围成的“多连通区域”上用格林公式，达到简化 的目的（如题2（2）和3（2））；还可以直接化为定积分计算；③曲线不是封闭的，可考虑 添加某段曲线（通常都是直线段，最简单），使之围成封闭曲线，再用格林公式（如题4）. 你会发现：格林公式确实大大简化了曲线积分的计算，因此，要很好的掌握这种方法.
5.由题意：f?(x)?2x2f(x)?0，解此微分方程，再利用f(0)?1，得f(x)?12.
1?x1?x6.?3（在x?0右半平面曲线积分与路径无关，选择折线段化为定积分直接计算；或者： 2原式?2）. ?1]??322? (2,1)d(?x)?(?x)(2,1)??[1 (1,2)yy(1,2)评注：当曲线积分与路径无关时，选择最简单的直线段来做积分是简化其计算的最直接而
有效的方法（如题6、7的第一种算法）；还可以利用“原函数”的概念如同牛顿——莱布尼兹公式那样去计算（如题6、7的第二种算法）；利用曲线积
稍是微元时分与路径无关还可以求解含有曲线积分的积分方程中的未知函 复通分函，：杂过”数反数（如题5）. 过当的点选的 (x,y) (x,y)xdy?ydx方全来某的取7.u(x,y)? du?22 (x0,y0) (x0,y0)x?y还折法微求一来分这表可线 x?y y????y??xx0得求个达?arctan ?采段222d???arctany2d????x??yx000 x0y0?? y0x??用做到积二式“积这”元是xyy?arctany0?arctanyx?arctanx?arctanx0 拆分个，函某00分的二简数二x0yxx元”方元单，?arctanx?arctany?[arctany?arccoty]通的000 法函的常函方x0y可数?arctanx?arctany??,法（数通也的20（如；叫一过做全y题题故 u(x,y)?arctanx?C（C为任意常数）. 般““微））地凑二分xdy?ydxxdx?ydy；8.把原表达式拆分成两部分为22n?22n，
????89. (x?y)(x?y)22由上题知：当n?1时，第一部分为darctanx，而此时第二部分恰为 d[1 ln(x?y)]，222故 n?1，从而 u(x,y)?arctanx?1ln(x?y)?C（C为任意常数）. 2yy 7
9.证：因f(u)连续，所以，表达式f(x?y)(dx?dy)是某二元函数的全微分，从而左端
的积分处处与路径无关，于是，左? ?? (0,0) (a,0)?? (a,b) (a,0)??f(x)dx??f(a?y)dy
0 0 a b? 0f(x)dx?? a a a?bf(x)dx?? a?b 0f(x)dx?右.
§11.4
1.提示：S:z?2(1?x?y)在xoy面的投影为Dxy:0?y?1?x, 0?x?1，dS?
?z2?z21?(?)?()dxdy?3dxdy，原式???x?y Dxyxy?2(1?x?y)?3dxdy?120.
2.提示：由对称性，上下半球面上的积分相等，S上：z?1?x2?y2在xoy面的投影为
，dS?1?Dxy：x?y?1（是圆盘）原式?222x21?x2?y2?y2dxdy1?x2?y2?11?x2?y2dxdy，
?? Dx2?y2?xy11?x2?y2dxdy?2? 2? 0d?? 1?2 01???d???2.
3.提示：由对称性，前后两半柱面上的积分相等，S前：x?R2?y2在yoz面的投影为
，dS?1?Dyz：?R?y?R, 0?z?H（是矩形）原式?2y2R2?y2?0 dzdy?RR?y22dzdy，
?? Dyz12R?z2?R2R?y2dydz?2R? R ?R12R?y2dy?12 0R?z2 H. dz?2?arctanHR4.提示：S：z?x2?y2在xoy面的投影为Dxy：x2?y2?1（是圆盘），第一象限的部分
22记为D1，dS?1?4(x?y)dxdy，原式??? Dxy(x2?y2)1?4(x2?y2)dxdy
1(125420xy?4??xy(x2?y2)1?4(x2?y2)dxdy D1极坐标?4? ?2 0d???cos???sin???2?1?4?2??d?? 0 15?1).
5.提示：S：z?x2?y2在xoy面的投影为Dxy：x2?y2?2ax（是圆盘），第一象限
的部分记为D1，dS?1?原式?x2x2?y2?x2ydxdy?2dxdy，并利用奇偶性和对称性，得
?y2 Dxy2?? Dxy[xy?(x?y)x2?y2]2 dxdy?2?? ?2 0xx2?y22 dxdy
极坐标?22?d?? 2acos? 0?cos?????d??64152a4.
6.提示：S：z?a2?x2?y2在xoy面的投影为Dxy：x2?y2?ax（是圆盘），第一
象限的部分记为D1，dS?1?x22a?x2?y2?y2a2?x2?y2dxdy? acos?aa?x2?y22dxdy，由对称性得
S??? dS?2?? S D1a2a?x2?y2极坐标dxdy?2a? ?2 0d?? 01a??22?d??2a2(??1). 27.提示：密度?(x,y,z)?x2?y2，上半球面S：z?R2?x2?y2在xoy面的投影为
，球面的面元为dS?Dxy：x2?y2?R2（是圆盘）
RR?x2?y22dxdy，由对称性得
RR?x2?y22m?2???(x,y,z)dS?2?? S Sx2?y2dS?2??8
Dxyx2?y2dxdy
极坐标 ??2?4?2 0d??? 0 RR2R??2?d? ?4?R? R?2R??22 0d???2R3.
评注：根据曲面方程的具体形式，把对面积的曲面积分化成相应坐标面上的二重积分，
是计算对面积的曲面积分的最基本的方法；关键是曲面在相应坐标面的投影区域的确定以及曲面面元的表达式；并且奇偶性和对称性的使用也是常采用的手段之一；最后再根据所化成的二重积分的具体形式选择合适的坐标系来算出这个二重积分.
§11.5
1.提示：三部分积分分别化为二重积分计算.S相对于x轴正向而言是后侧，其方程为x??
1?x2?y2，S在yoz面的投影为Dyz：y2?z2?1, y?0, z?0（是1单位圆盘），于4是
?? Sx2dydz???? Dyz(?1?y2?z2)2dydz???? Dyz(1?y2?z2)dydz；S相对于y轴正向而言是右侧，其方程为y?1?x2?z2，S在xoz面的投影为Dxz：x2?z2?1,
2x?0, z?0（是1单位圆盘），于是，y??dzdx???4 S Dxz(1?x2?z2)2dzdx?
?? D(1?x2?z2)dzdx，与第一部分积分正好抵消；S相对于z轴正向而言是上侧，其方
yz22程为z?1?x?y，S在xoy面的投影为Dxy：x2?y2?1, x?0, y?0（是1单位4圆盘），于是，
?? Sz2dxdy??? Dxz(1?x2?y2)2dxdy??? 3dV?3V球）. ??? ? Dxy， (1?x2?y2)dxdy??832.4?R3（提示：由对称性可知：三部分积分相等，都等于4； ?R3或用高斯公式化为
3.1?R4h（提示：柱面S在xoy面的投影面积为0，所以第三部分积分为0；而 4?? S?2??(x3?yz)dydz??? S前半前(x3?yz)dydz??? S后半后(x3?yz)dydz
3（两部分?yz的积分正好抵消，而x的积分相等）
Dyz4； (R2?y2)3dydz?3?hR42?? S?2x?2?? Dzxydzdx??? S右半右?2x2ydzdx??? S左半左?2x2ydzdx（两部分相等）
4. ?2x2R2?x2dzdx??1?hR2 注意：体会积分号中的“前半前”、“后半后”、“右半右”和“左半左”的含义，理解了
这几句话，你也就对曲面的“侧”理解得差不多了）.
4.0（每一部分积分都“分片”计算，其结果正好相互抵销（很麻烦）；最简单的方法是直
接利用高斯公式而化为
0dV?0）. ??? ?评注：根据曲面方程的具体形式，以及曲面所指定的“侧”，把对坐标的曲面积分化成相 应坐标面上的二重积分，是计算对坐标的曲面积分的最基本的方法；它远比对面积的曲面积分复杂，牵涉到曲面的“侧”（曲面换个侧，积分差一负号），曲面往相应坐标面投影时有正 负号的选取问题，这是与第一型曲面积分最大的区别；分清楚给定曲面的“侧”是基础；曲 面在相应坐标面投影区域的确定是关键；有些积分要“逐片”分别来计算，很麻烦，要小心.
9
第十一章 总复习题
1.提示：由对称性，只需求曲线在第一象限的积分.曲线的参数方程为
， x?acos2?cos?, y?acos2?sin?, 0????4原式?4 ? ?? 04acos2?sin?x?(?)?y?(?)d??4??2224 0a2sin?d??4a2(1?2). 22??x?acos3?, 0???2.提示：曲线的参数方程为?23??y?asin?, 为第一象限的部分，再由对称性，
7原式?2? Cyds?8?34 ?2 0a3sin4??3asin?cos? d??4a3.
42ydy)3.提示：以x为参数，(ds)2?(dx)2?(dy)2?(dz)2?(dx)2?4ax(dx)2?(xdx? 2z?原式? a12 014z2(8x2?9ax?2a2)(dx)2，（可理解为“广义勾股定理”）
a 09172(x?16a)2?256adx
?8x2?9ax?2a2dx?2??x?9a16a217a217a29a9a217a2? ?2?2(x?9)??lnx?(x?)?162565121616256???0?1[20051243819a2?722a?172a2ln25?17].（此题难且复杂）
a224.1添加直线段OA围成封闭曲线L?C?OA再用格林公式）. (b?a)?a?2ab（提示：25.
?Q?x?2x，则Q(x,y)?x2?f(y)，再由? (t, 1) (0, 0)?? (1, t) (0, 0)求得f(y)?2y?1，从而
Q(x,y)?x2?2y?1.
Q?6.令P?2xy(x4?y2)?, Q??x2(x4?y2)?，则??x?P?y，可知???1，于是
2u(x,y)?? (x, y) (x0, y0)Pdx?Qdy?arctanxy?C.
337.提示：把曲线的参数方程直接代入被积表达式之中而化为定积分直接计算得1(a?h). 38.461（参照§10.4的题1化为二重积分计算）.
2yP(x,y,z)9.17（先写出上半椭球面上点处的切平面 6??：x(X?x)?(Y?y)? 243?2z(Z?z)?0，则?(x,y,z)?的面元为dS?144?x2?8y292zx(?x)?3(?y)?2z(?z)x2?(2y232y)?(2z)2?x2?2y2?2z23x?y?4z24922?224?x2?8y29，而椭球面
dxdy，于是，??z?(x,y,z) SdS???z4?x2?8y29 Dxy?4?x2?8y292zdxdy?
?? D14xy2(4?x2?8y)dxdy（再令x?2?cos?, y?3?sin?，叫广义极坐标，则 90???1, 0???2?，而 dxdy?23?d?d??6?d?d?）
?6? 2? 022d??(4?2?2cos2??8?3?sin?)?d??176?）. 924 0 110.提示：先补上有向平面S1：z?0 (x2?y2?a2)（取下侧）和S2：z?3 (x2?y2?a2)（取上侧），并用高斯公式得原式??? S??? S?S1?S2??? S1??? S2（S1的积分为0）
???? (1?1?1)dV??? ? Dxy3dxdy?3?a2?3?3?a2?6?a2.
10