对于x,y平面内的流动，?z?0说明流动无旋，所以是势流。
???2??1?4x，2?4 ?x?x方法二
???2???4y，2??4 ?y?y?2??2????2?2?0
?x?y2流函数?满足Laplace方程，所以流动是势流。
?1??uy?ux??z?????0?2??x?y???——平面不可压缩无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程。
?????ux,??uy???y?x?注： 1、不可压流体无旋流动的速度势函数满足Laplace方程： ?2??2??2???u???(??)???????2?2?2?0 ?x?y?z22、不可压缩流体平面无旋流动的流函数满足Laplace方程 ?uy?ux?2??2????2?2???2??0 ?x?y?x?y???????4y ?x?y2）因为 所以
又因为 所以 于是 例14： 三维不可压缩流场中ux并检验是否无旋？ 解：由连续方程
???4xy?f?y?
??????4x?f??y?????1?4x ?y?xf??y???1，f?y???y?c
???4xy?f?y???4xy?y?c
?x2?z2?5，uy?y2?z2?3，且已知z?0处uz?0，试求流场中的uz表达式，
?u?u?ux?uy?uz?u???0得：z??y?z??2x?2y ?x?y?z?z?y?zuz??2(x?y)z?c
积分得： 由z?0处uz=0得：c=0
所以流场中的uz表达式为uz由于?x??2(x?y)z
1?u?u1?u?u1?u?u?(z?y)??2z，?y?(x?z)?2z，?z?(y?x)?0
2?z?x2?y?z2?x?y可见，当z?0时，该流体运动是无旋的；当z?0时，该流体运动是有旋的。
例15：已知二元流场的速度势为??x2?y2
（1）试求ux和uy，并检验是否满足连续条件和无旋条件。 （2）求流函数。
11
解：（1）ux??????2x，uy???2y ?x?y由于
?ux?uy1?u?u??2?2?0，满足连续方程；由于?z?(y?x)?0，流动无旋。 ?x?y2?x?y（2）由流函数的定义：
ux????2x ① ?y????2y ② ?xuy??积分式①得
?????dy?f(x)?2xy?f(x) ③ ?y???2y?f?(x)?2y，可得f?(x)?0，f(x)?c ?y?2xy?c
将式③对x求偏导，并令其等于?uy，即
于是，流函数为： ?例16：不可压缩流场的流函数为?（1）证明流动有势 （2）并求速度势函数。 （3）求（1，1）点的速度。 解：（1）因为ux?5xy
???????5y ?5x，uy???x?y1?uy?ux所以，?z?(?)?0，即流动无旋，也即有势。
2?x?y?????5x，uy???5y （2）因为ux??x?y所以，d??????dx?dy?uxdx?uydy?5xdx?5ydy ?x?y对上式作不定积分得速度势函数：
????5x25y2???d???(dx?dy)??(uxdx?uydy)???c
?x?y22（3）由ux??????5x，uy???5y，得，（1，1）点的速度为： ?x?yux即： 例17：已知ux解：由uxx?1?5，uyy?1??5
u?1,1??5i?5j
?x2y?y2，uy?x2?y2x，试求此流场中在x?1，y?2点处的线变形率、角变形率和角速度。
?x2y?y2，uy?x2?y2x，x?1，y?2，得
?线变形率为：?x角变形率为：?z?uy?ux?2xy?4，?y???2xy??4 ?x?y1?u?u113?(y?x)?(2x?y2?x2?2y)?(2?4?1?4)? 2?x?y22212
1?uy?ux117角速度为：?z?(?)?(2x?y2?x2?2y)?(2?4?1?4)??
2?x?y222例题18：如图所示，有一水平放置的喷管水射流装置，由直管段和收缩形喷管组成，喷嘴与直管段的接头用螺栓连接。水流从喷嘴喷出，冲击到一块垂直平板上。已知：喷管上游直管段的截面积压，即相对于大气压的值），喷管出口截面积影响。试求：
（1）喷管与直管段接头处所受的拉力； （2）平板所受的水流的冲击力。
A1?50cm2，水的压强p1?46080Pa（表
A2?30cm2。若将射流视为不可压缩流体的稳态流动，且不计粘性和重力的
u333p11u1A1Rx2u2A2Fxx124
解：建立如图所示的坐标系，取x轴所在的水平面为基准面；选取控制体，确定控制面；分析控制体受力：假定喷管壁面对水的作用力在水平方向的分量为Rx，沿x轴的负方向；垂直平板对射流的作用力为Fx，沿x轴的负方向。
对1－1和2－2截面列伯努利方程：
2u12p2u2gz1???gz2???2?2u24p1，将已知条件
z1?z2?0，
p1?46080Pa，p2?0（相对压强）代入伯努利方程，得：
p1?又由质量守恒方程?u1A1?u?222?u12? （A）
??u2A2，可得：
u1A1?u2A2联立求解（A）和（B）可得：u1 （B）
?7.2ms，u2?12ms，Q1?Q2?Q?0.036m3s。
（1）针对1－1和2－2截面间的控制体，列x方向的动量方程：
?Q2u2??Qu11??Rx?p1A1
可求得喷管壁面对水流的作用力：
Rx?p1A1??Q?u1?u2??46080?50?10?4?1000?0.036?7.2?12??57.6N
?为Rx的Rx为正值，说明喷管壁面对水流的作用力方向与初始假定的方向相同，水流对喷管壁面沿水平方向的作用力Rx?反作用力，故有Rx??Rx??57.6N，即喷管与直管段接头处所受的拉力为57.6N。
（2）针对2－2、3－4和4－4截面间的控制体（该控制体周围的压强均为大气压强，故不考虑压强引起的作用力），列
x方向的动量方程：
0??Q2u2??Fx
可求得垂直平板对射流的作用力：
Fx??Q2v2?1000?0.036?12?432N
13
?为Fx的反作用力，说明垂直平板对射流的作用力方向与初始假定的方向相同，射流对垂直平板的作用力FxFx为正值，???Fx故有Fx??432N。
，Q?u2?u?24ms，Q?42Ls（升/秒）1?16Ls。求射流对平板的作用力
例题19：如图所示，将一平板放在自由水射流中，并垂直于射流的轴线，该平板截去射流的一部分Q1，并引起射流其余部分偏转角度?。已知u1R及射流
的偏转角?（不计摩擦力及水的重量的影响，取水的密度??1000kgm3u1Q11）。
10RxyQu0?x2
解：建立坐标系，选取控制体，确定控制面。分析受力（假定力的方向）：由于不计摩擦力的影响，平板对射流只有沿垂直于平板方向的法向作用力Rx（假设其方向向左），而沿平行于平板方向的切向摩擦力Ry于是可列出x和y方向的动量方程：
2u2Q2?0。
??Q2u2cos??Qu???Rx ??Qu11?Q2u2sin???0
根据已知条件和连续性方程：Q2?Q?Q1?2.6?10?2m3s
将其他已知条件带入，可以求得：
?16??，Rx?516.15N ?37.98??26?射流对平板的作用力R??Rx??516.15N，方向向右。
??sin?1??例题20：如图所示连续管系中的90渐缩弯管放在水平面上，管径d1?15cm，d2?7.5cm，入口处水的平均流速
F?。如不计能量损失，试求支撑弯管在其位置所需的水平力？ u1?2.5m/s，静压p1?6.86?104Pa（计示压强）
u1FyF?Fxu2xFxFFyy2?解：由u1A1u2,p2,A2
?u2A可得： u2?u1A1?d1???u1?4u1?10?m/s? A2?d2?22pupu1122对1-1和2-2两个过流截面列伯努利方程，可得： ????g2g?g2g 14
p2?p1??u?2212-u2??6.86?104?1000??2.52-102??21725?Pa? 2建立如图所示的坐标系，x坐标轴向右为正，y坐标轴向上为正。取1-1、2-2截面和弯管内壁所包围的体积为控制体，假设弯管对控制体内水流的作用力为F，它沿x、y方向的分量分别为Fx,Fy，方向如图所示，则可分别列出x、y方向的动量方程：
??p1A1?Fx??Q1?0?u1? ?pA?F??Q?u?0??y2?2?22再利用连续性方程Q1?u1A1?Q2?u2A2，则有：
Fx?A1?p1??u12???4??0.15???6.86?104?103?2.52??1322.71?N?
22Fy?A2?p2??u2???4??0.075???21275?103?102??537.78?N?
2Fx,Fy均为正值，说明其实际方向与假设的方向相同，即分别沿x、y坐标轴的负方向。
弯管对控制体内水流作用力的合力F大小为
F?Fx2＋Fy2?1322.712?537.782?1438.63?N? 合力F的方向角（如图所示）为
537.78?20.5?
F1438.63弯管受到水流的作用力是F的反作用力，二者大小相等，方向相反，即F???F。
就本题而言，只需用x方向的动量方程求出Fx，即可知道弯管受到水流沿水平方向的作用力Fx?，Fx?与Fx大小相等、
??arctanFy?arctan方向相反。
例题21：轴流式风机可采用如图3所示的集流器来测量流量，已知风机入口侧管道直径d?400mm，U
形管读数
h?100mmH2O,水与空气的密度分别为?w?1000kgm3,?a?1.2kgm3，忽略流动的能量损失，求空气的体积流量QV。
解：针对在风机入口前断面1－1和U型管所在的风筒截面2－2列伯努里方程：
pu20?0?0??0??ag2g得
由静力学基本方程： 带入上式，得：
u?－2p?a
p??wgh?0?p???wgh
u?2gh?w1000?2?9.807?0.1??40.43?m/s? ?a1.215