习题 3-1
1. 验证函数f(x)?x4?x在区间[0,4]上满足罗尔定理的条件，并求出使得结
论成立的点?。
解：显然函数f(x)?x4?x在区间[0,4]上连续，在(0,4)上可导，且有f(0)?f(4)?0 所以函数在区间[0,4]上满足罗尔定理，则有f?(?)?4????24???0，??8。 32. 验证函数f(x)?x3?1在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理的条件，并求出使
得结论成立的?。
解：函数f(x)?x3?1在区间[1,2]上连续，在(1,2)上可导，则满足拉格朗日中值定理，则
有
7f(2)?f(1)?3?2，即??。
2?133. 函数f(x)?x4?1与g(x)?x2在区间[1,2]上是否满足柯西中值定理的所有条
件，如满足，求出满足定理的数值?。
解：函数f(x)?x?1与g(x)?x在区间上连续，在区间(1,2)上可导，则满足柯西中值
425f(2)?f(1)4?3定理，则有，即??。 ?2g(2)?g(1)2?4. 若4次方程a0x4?a1x3?a2x2?a3x?a4?0有4个不同的实根，证明
4a0x3?3a1x2?2a2x?a3?0
的所有根皆为实根。
证明：设f(x)?a0x4?a1x3?a2x2?a3x?a4，f(x)?0的四个实根分别为x1,x2,x3,x4，且x1?x2?x3?x4，则函数f(x)在[xi,xi?1](i?1,2,3)上满足罗尔定理的条件，则在
(xi,xi?1)内至少存在一点?i，使得f?(?i)?0。
这说明方程4a0x3?3a1x2?2a2x?a3?0至少有3个实根，而方程为3次方，则最多也只有3个实根，所以结论得到证明。
5. 设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(1)?0，证明：存在??(0,1)，
使得
f?(?)??f(?)?。
解：构造辅助函数F(x)?xf(x)，而F(x)?xf(x)满足罗尔定理的条件，所以有在(0,1)，至少存在一点?，f(?)??f?(?)?0即f?(?)??6. 试用拉格朗日中值定理证明： （1）sinx2?sinx1?x2?x1； （2）当x?0时，
f(?)?。
x?ln(1?x)?x。 1?x解：（1）设f(x)?sinx，则f(x)在区间(x1,x2)上满足拉格朗日中值定理，则有
sinx1?sinx2sinx1?sinx2?cos?,??(x1,x2)，又因为cos??1，则?1，
x1?x2x1?x2sinx1?sinx2?x1?x2。
（2）设f(x)?ln(1?x)，则f(x)在区间(0,x)上满足拉格朗日中值定理，则有
ln(1?x)1111ln(1?x)??1，???1，则 ??(0,x)，又因为
1?xx1?x1??x1??即
x?ln(1?x)?x 1?x。
7. 证明等式：arctanx?arccotx??2。
证明：设f(x)?arctanx?arccotx，则有f?(x)?(arctanx?arccotx)??0， 所以f(x)?c，代入x?0，得到arctanx?arccotx??2。
8.设f(x)在[1,2]上具有二阶导数f??(x)，且f(2)?f(1)?0。若
F(x)?(x?1)f(x)。证明：至少存在一点??(1,2)，使得F??(?)?0。
证明：因为F(1)?F(2)?0，在[1,2]上应用罗尔定理，有F?(?1)?0， 又因为F?(1)?0，所以在[1,?1]上应用罗尔定理，有F??(?)?0，[1,?1]?[1,2]。
9.设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，证明：在(a,b)内存在点?和?，使得 f?(?)?a?bf?(?)。 2?证明：构造辅助函数g(x)?x2，f(x)与g(x)在(a,b)内满足柯西中值定理，即有
f(b)?f(a)f?(?)f(b)?f(a)，??(a,b) ??22?g(b)?g(a)g(?)b?a而f(x)在(a,b)内满足拉格朗日中值定理，所以f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)， 即f?(?)?
a?bf?(?)。 2?习题 3-2
1. 用洛必达法则求下列极限：
x3?3x?2sinaxx?sinx（1）lim； （2）lim； （3）lim3；
x?0sinbxx?0x?1x?x2?x?1x3ln(x?)(lnx)tanx2； （4）lim； （5）lim； （6）lim??x????tanxxx?tan3xx?2221?（7）limxex； (8) limxcotx; （9）lim(secx?tanx)；
x?0x?022x??21x1tanx?)； （11）lim?x； （12）limxx； （10）lim(x???x?1x?1x?0lnx1x11?x（13）lim(1?sinx); (14) limxx?0x?1
解：（1）（
sinax(sinax)?acosaxa0?lim?lim?； 型）；limx?0sinbxx?0(sinbx)?x?0bcosbx0bx?sinx(x?sinx)?1?cosxsinx10lim?lim?lim?lim?； （2）（型）；332x?0x?0x?0x?00x(x)?3x6x6 （3）（
0型）； 0x3?3x?2(x3?3x?2)?3x2?36x3lim32?lim32?lim2?lim?x?1x?x?x?1x?1(x?x?x?1)?x?13x?2x?1x?16x?22； （4）（
?tanxsinxcos3xcos3x?3sin3x型）；lim ?lim??lim?lim?3；
?tan3x?cosxsin3x?cosx??sinx?x?x?x?x?2222 （5）（
(lnx)(lnx)??型）；lim?lim?limx???x????x(x)?x???22lnx?1x?4limlnx?0；
x???1x2xln(x?)(ln(x?))?cos2x?22 （6）（型）；lim??lim??lim??0；
??????tanx(tanx)x?x?x?222x?2112??1 （7）（0??型）；limx2ex?limx?0e?limx?01x?0x2x?0x2ex(?22)3x??； 2?3x （8）（0??型）；limxcotx?limx?0x?1； tanx （9）（???型）；
lim(secx?tanx)?lim[x??2x??21sinx1?sinx?cosx?]?lim?lim?0；
?sinxcosxcosxx??cosxx?22 （10）（???型）；
x1xlnx?(x?1)lnx ?)?lim?limx?1x?1x?1x?1x?1lnx(x?1)lnxlnx?xxlnxlnx?11?lim?； ?limx?1xlnx?x?1x?1lnx?22 lim( （11）（00型）；
limlnxtanxlimtanxlnxlnx?x?0cotxlimsin2xxx?0?lim limx?x?0tanx?ex?0??ex?0?1?e?e?e0?1；
（12）（?型）；limx?ex???x???01xlimlnxx?elnxx???xlim?e1x???xlim?e0?1；
（13）（1型）；
? lim(1?sinx)?ex?01x1limln(1?sinx)xx?0?ex?0lim1?xlnxlimxln(1?sinx)1?ex?0limln(1?sinx)x?ex?0lim1?sinxcosx?e；
（14）（1型）；limxx?1?11?x?e11?limlnxxx?1?ex?11?ex?1?。
elim?xl2.验证下列极限存在，但不能用洛必达法则求出。
1x； （2）limx?sinx。 （1）limx??x?0sinxxx2sin解：（1）用洛必达法则求：
11112xsin?x2cos(?2)x?limxxx?lim(2xsin1?cos1)，求不出 limx?0sinxx?0x?0cosxxx1x2sinx?limx?xsin1?limx?limxsin1?0； 用一般的方法：limx?0sinxx?0sinxxx?0sinxx?0xx2sin（2）用洛必达法则求：
limx?sinx1?cosx?lim?lim(1?cosx)， 求不出
x??x??x??x1用一般的方法：
limx?sinxsinx?lim(1?)?1?0?1。
x??x??xx3.设f(x)在x?0处二阶可导，且f(0)?0，试确定a的值使g(x)在x?0处可 导，并求g?(0)，其中
?f(x)x?0? g(x)??x
x?0??a解：因为函数f(x)在x?0处二阶可导，则函数在x?0处一定连续，即有
limf(x)?f(0)?0，
x?0又因为函数g(x)在x?0处可导，所以函数在x?0处也一定连续，即有 limg(x)?g(0),limx?0x?0f(x)f?(x)?lim?limf?(x)?a x?0x?0x1根据导数的定义以及洛必达法则，有
f(x)?ag(x)?g(0)f(x)?ax g?(0)?lim ?limx?lim2x?0x?0x?0xxx