f(?1)??1?0,f(0)?1?0。根据零点定理，f(x)在内有一零点，另一方面，对于
任意实数x，有f?(x)?5x4?1?0，所以f(x)在(??,??)内单调增加，因此，曲线
y?f(x)与x轴有且只有一个实根。
5. 求下列函数的的凹凸区间以及拐点：
（1）y?3x4?4x3?1； （2）y?4?3x?9； （3）y?xex； （4）y?x?ln(1?x)； （5）y? 解：（1）函数的定义域为(??,??)
322又因为y??12x?12x,y???36x?24x?36x(x?)?0，得到x?0,x?2xarctanx； （6）. y?e21?x232 3在(??,0)内，y???0，所以函数在此区间上是凹的， 在(0,)内，y???0，所以函数在此区间上是凸的。 在(,??)内，y???0所以函数在此区间上是凹的。 且点(0,1)和点(,2323211)是曲线的拐点。 327 （2）函数的定义域为(??,??)。 因为y???112，易见函数在x?9处不可导。 ,y???5333(x?9)29(x?9)当x?9时，y???0，曲线是凸的；当x?9时，y???0曲线是凹的。点(9,4)为曲线的拐点。
（3）函数的定义域为(??,??)。
因为y??e?xe,y???e(x?2)?0，得x??2。
当x??2时，y???0，曲线是凸的；当x??2时，y???0曲线是凹的。点(?2,?2e)为曲线的拐点。
（4）函数的定义域为(?1,??)。 因为y??1??2xxx11,y????0。 2x?1(1?x)所以当x??1时，y???0曲线是凹的。
（5）函数的定义域为(??,??)
2(1?x2)4x(x2?3)又因为y??2,y????0，得到x??3,x?0,x?3 23(x?1)(1?x)在(??,?3)内，y???0，所以函数在此区间上是凸的 在(3,0)内，y???0，所以函数在此区间上是凹的， 在(0,3)内，y???0，所以函数在此区间上是凸的。 在(3,??)内，y???0所以函数在此区间上是凹的。
且点(?3,?33),(0,0),(3,)是曲线的拐点。 22 （6）函数的定义域为(??,??)。
earctanxearctanx(1?2x)1x?因为y??2，得。 ,y????0222x?1(1?x)1arctan1112)为曲当x?时，y???0，曲线是凸的；当x?时，y???0曲线是凹的。点(,e222线的拐点。
6. 利用函数图形的凹凸性，证明下列不等式：
1nx?yn(x?yn)?() (x?0,y?0x,?y,n?；1 22x?ycosx?cosy???(,。)] （2）cos [x,y??2222 （1）
证明：（1）作辅助函数f(t)?t,t?(0,??) 当n?1时，f?(t)?ntn?1n,f??(t)?n(n?1)tn?2?0，所以f(t)在(0,??)内是凹的。
1nx?yn(x?yn)?()22。
由凹性定义?x,y?(0,??),x?y，有
（2）作辅助函数f(x)?1?cosx,x?(?
??,)，
22因为f?(x)??sinx,f??(x)??cosx?0，所以f(x)在(?由凸性定义?x,y?(???,)内是凸的。 22??x?ycosx?cosy,),x?y，有cos?2222。
7. 问a及b为何值时，点(1,1)为曲线y?ax3?blnx的拐点？
解：因为点(1,1)在曲线y?ax3?blnx上，所以有1?a。
2又因为y??3ax,y???6ax?b x2且点(1,1)是曲线的拐点，所以有6a?b?0 即得b?6。
8. 试确定曲线y?ax3?bx2?cx?d中的a、b、c、d，使得在x??2处曲线有水
平切线，(1,?10)为拐点，且点(?2,44)在曲线上。 解：
因为曲线在处曲线由水平切线，即y?x?2?(3ax?2bx?c)2x?2?0
得：12a?4b?c?0 （1） 又因为(1,?10)为拐点，所以有y??x?2?(6ax?2b)x?2?0， 得：6a?2b?0 （2） 且(ax?bx?cx?d)32x?1??10
得：a?b?c?d??10 （3） 点(?2,44)在曲线上，所以有(ax?bx?cx?d)32x??2?44。
得：?8a?4b?2c?d?44 （4） 联立方程（1）（2）（3）（4）得到： a?1,b??3,c??24,d?16。
习题3-5
1． 求下列函数的极值：
2 （1）y?x3?3x2?24x?20； （2）y?(x?4)3(x?1)； （3）y?exsinx；
（4）y?x?ln(1?x)； （5）y?tanx?x； （6）y?1?x?13。
2解：（1）函数在(??,??)内连续，且y??3x?6x?24?3(x?4)(x?2)?0，得
x??4,x?2，
又因为y???6x?6，y??x??4??18?0,y??x?2?18?0，所以极大值f(?4)?60，极小值f(2)??48。
（2）函数在(??,??)内连续，且f?(x)?可导。
5(x?1)?0，得x?1，在点x??1不
33x?1在(??,?1)内，f?(x)?0；在(?1,1)内，f?(x)?0。所以x??1是一个极大值点；在(1,??)内，f?(x)?0，所以点x?1是一个极小值点。
极大值为f(?1)?0，极小值为f(1)??334。
xx(3) 函数在(??,??)内连续，且f?(x)?e(sinx?cosx)?e2sin(x??4)?0，得
x?k???4x，又因为f??(x)?2ecosx，当x?k???4,k?2n?2,(n?1,2...)，
2k???f??(x)?0，所以函数在这些点处取得极小值，极小值f(k??)??e4；
42?当x?k???4,k?2n?1,(n?1,2...)，所以函数在这些点处取得极大值，极大值
2k???f(k??)?e4。
42? （4）函数在(?1,??)内连续，且f?(x)?1?因为?2?(?1,??)，所以函数没有极值点。 （5）函数的定义域为x?R,(x?k??1?0，得x??2， x?1?2)，且f?(x)?sec2x?1?0，得
x?2k?,x?(2k?1)?。
又因为函数在这些点的左右两边都有f?(x)?0，所以函数没有极值点。
1?4 （6）函数在(??,0)?(0,??)内连续，且f?(x)?x3，因为f?(x)?0，所以函
3数没有极值点。
2. 求下列函数的最值：
（1）y?2x?6x?18x?11，x?[?2,4]； （2）y?x?(x?1)，x?[0,2]。 解：（1）函数在[?2,4]上连续且可导，
2且f?(x)?6x?12x?18?6(x?3)(x?1)?0，得x??1,x?3。
3223213因为f(?2)?7,f(?1)?21,f(3)??43,f(4)??29
所以在x??1有最大值f(?1)?21，在x?3处有最小值f(3)??43。
2343 （2）函数在[0,2]上连续，且f?(x)?2(x?1)?x1x??，得，且在?02312x3(x2?1)32点处不可导。 x?0,x??1又因为f(0)?1,f(1)?34,f(1)?1,f(2)?34?33 2所以最大值为f(1)?34，最小值为f(2)?34?33。 23.试问a为何值时，函数f(x)?aex?e?x在x?0处取得极值？它是极大值还是极值？ 并求此极值。
解：因为f?(x)?aex?e?x?0，得e2x?1，将x?0代入得a?1， a又因为f??(x)?aex，且f??(0)?1?0，所以函数在这点取得极小值，为f(0)?2。 4. 一正方形铁皮，边长为厘米，从它的四角截去四个相等的小正方形，剩下的部分做 成一个无盖的盒子，问被截去的小正方形的边长为多少厘米时，才能使盒子的容积最大？
2 解：设截下的小正方形边长为x厘米，则盒子的容积为V?x(a?2x),(a,0?x?a) 2aaa,x??(0,)（舍去） 622aaa又因为V???8(3x?a)，且V??()??4a?0，所以x?时，体积有极大值V()，而除此
666aa之外之内，体积没有其他的极值，所以V()是最大值，当x?厘米时，盒子的最大体积
66因为V??(a?2x)(a?6x)?0，得x?a2a3为V()?（立方厘米）。
6275. 某水厂要造一个容积为V的圆柱形带盖储水池，问如何确定底半径r和高h，使得 所用的材料最省？
2解：由圆柱体积及全表面积公式，得所需材料面积为A?2?r?2?rh，
22又因为?rh?V，则A?2?r?2V，(0?r???) r下面求此函数的最小值:令A??4?r?2V?0，得r?r23V 2?