第八章 电磁感应
一、电磁感应现象
例1．如图所示，矩形线圈沿a →b →c在条形磁铁附近移动，a M b 试判断穿过线圈的磁通量如何变化？如果线圈M沿条形磁铁从NS N c 极附近向右移动到S极附近，穿过该线圈的磁通量如何变化？
解：⑴矩形线框由上到下移动时，穿过线圈的磁通量由方向向下减小到零，再变为方向向上增大。⑵M沿条形磁铁轴线向右移动，穿过线圈的磁通量先增大再减小，方向始终向左。
例2．如图所示，环形导线a中有顺时针方向的电流，a环外有两个同心导线圈b、c，与环形导线a在同一平面内。穿过线圈b、c的磁通量各是什么方向？
c b a 穿过哪个线圈的磁通量更大？
解：b、c线圈所围面积内的磁通量有向里的也有向外的，但向里的更多，所以总磁通量都是向里的。由于穿过b、c线圈向里的磁通量相同而穿过b线圈向外的磁通量比穿过c线圈的少，所以穿过b线圈的总磁通量更大。 二、感应电流的方向
练习1. 如图所示，闭合导体环固定。条形磁铁S极向下以初速度v0沿过导体环
N v圆心的竖直线下落过程，导体环中的感应电流方向如何？ S 0 解： M
练习2. 如图所示，O1O2是矩形导线框abcd的对称轴，其左方有垂直O1 a d 于纸面向外的匀强磁场。以下哪些情况下abcd中有感应电流产生？方向如
何？
b c
A.将abcd 向纸外平移 B.将abcd向右平移 O2 C.将abcd以ab为轴转动60° D.将abcd以cd为轴转动60° 解：
练习3. 如图所示装置中，cd杆原来静止。当ab 杆做
c a 如下那些运动时，cd杆将向右移动？
L2 L1 A.向右匀速运动 B.向右加速运动
C.向左加速运动 D.向左减速运动 d b 解：.
练习4. 如图所示，当磁铁绕O1O2轴匀速转动时，矩形导线框（不考虑重力）O1 - 1 -
O2
将如何运动？ 解：
练习5. 如图所示，水平面上有两根平行导轨，上面放两根金属棒a、b。 当条形磁铁如图向下移动时（不到达导轨平面），a、b将如何移动？ 解 a b
练习6 如图所示，绝缘水平面上有两个离得很近的导体环a、b。将条形磁铁沿它们的正中向下移动（不到达该平面），a、b将如何移动？ 解：
a b
练习7. 如图所示，在条形磁铁从图示位置绕O1O2轴转动90°的过程中，
O1 a 放在导轨右端附近的金属棒ab将如何移动？ 解： O2 b
2．右手定则。
例3．一长直铁芯上绕有一固定线圈M，铁芯右端与一木质圆柱密接，木质圆柱上套有一闭合金属环N，N可在木质圆柱上无摩擦移动。M连接在如图所示的电路中，其中R为滑线变阻器，E1和E2为直流电源，S为单刀双掷开关。下列情况中，可观测到N向左运动的是
M N A．在S断开的情况下，S向a闭合的瞬间 左 右
B．在S断开的情况下，S向b闭合的瞬间
E1 a C．在S己向a闭合的情况下，将R的滑动头向c端移动时c d S R D．在S己向a闭合的情况下，将R的滑动头向d端移动时b E2 解：当线圈M中电流增大时，穿过N的磁通量增大，N中感应电流方向与M中电流方向相反，而反向电流互相排斥，N将向右运动；同理，线圈M中电流减小时，N将向左运动。选C。
例4．如图所示，用丝线将一个闭合金属环悬于O点，虚线左边有垂直于纸面O 向外的匀强磁场，而右边没有磁场。金属环的摆动会很快停下来。试解释这一现象。
B 若整个空间都有垂直于纸面向外的匀强磁场，会有这种现象吗？
解：只有左边有匀强磁场，金属环在穿越磁场边界时（无论是进入还是穿出），由于磁通量发生变化，环内一定有感应电流产生。根据楞次定律，感应电流将会阻碍相对运动，所以摆动会很快停下来，这就是电磁阻尼现象。若左边匀强磁场方向改为竖直向下，
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穿过金属环的磁通量始终为零，无感应电流，不会阻碍相对运动，摆动就不会很快停下来。
例5．如图所示，a、b灯分别标有“36V 40W”和“36V 25W”，闭合电键，
L a 调节R，使a、b都正常发光。这时断开电键后重做实验。⑴电键闭合后看到的现象是什么？⑵稳定后那只灯较亮？⑶再断开电键，又将看到什么现象？
b R 解：⑴重新闭合后，由于L对电流增大的阻碍作用，a将慢慢亮起来，而b立即变亮（这时L的作用相当于一个大电阻）；⑵稳定后两灯都正常发光，
i 设这时它们的电流分别为Ia、Ib，由于a的额定功率大，所以a较亮，Ia>Ib，Ia Ib （这时L的作用相当于一只普通的电阻，就是线圈的内阻）；⑶断开后，由
O t0 于L对电流减小的阻碍作用，通过a的电流从Ia逐渐减小，a渐渐变暗到熄灭，而abRL组成同一个闭合回路，所以通过b灯的电流也将从Ia开始逐渐
减小，由于原来的Ia>Ib，因此b灯会先闪亮一下，再逐渐变暗到熄灭，该阶段通过b的电流方向与原来的电流方向相反（这时L的作用相当于一个电源）。若a灯的额定功率小于b灯，则断开电键后b灯将不会出现“闪亮”现象。
设电键是在t=t0时刻断开的，则灯a、b的电流图象如右上图所示（以向左的电流为正。） 三、感应电动势的产生
例6．如图所示，长L1宽L2的矩形线圈电阻为R，处于磁感应强度为B的匀强磁场边缘，线圈与磁感线垂直。求：将线圈以向右的速度v匀速拉出磁场的过程中，⑴拉L1 v 力的大小F； ⑵拉力的功率P； ⑶拉力做的功W； ⑷线圈中产生的电热Q ；
B L2 F ⑸通过线圈某一截面的电荷量q 。
B2L2E2v解：动生电动势，E=Blv。⑴E?BL2v,I?,F?BIL2,?F??v；
RR222⑵P?Fv?BL2v?v2；
t
RE??B2L22L1v⑶W?FL1?与v无关 ?v； ⑷Q?W?v； ⑸ q?I?t?t?RRR本题有两点要特别注意：⑴要注意电热Q和电荷量q的区别；⑵电荷量q???与速度无关（无
R论该过程电流是否恒定，此结论总是成立的，若为n匝线圈则q?n??，R表述回路的总电阻。）
R例7．如图所示，U形导线框固定在水平面上，右端放有质量为m的金
B a 属棒ab，ab与导轨间的动摩擦因数为μ，它们围成的矩形边长分别为L1、
L1 L2，回路的总电阻为R。从t=0时刻起，在竖直向上方向加一个随时间均匀L2 b 变化的匀强磁场B=kt，（k>0）那么在t为多大时，金属棒开始移动？
??解：感生电动势，由E?= kL1L2可知，回路中感应电动势是恒定的，电流大小也是恒定
?t的，但由于安培力F=BIL1∝B=kt∝t，所以安培力将随时间而增大。当安培力增大到等于最大静摩擦力时，ab将开始向左移动。这时有：kt?L1?
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kL1L2?mgR??mg,t?22 RkL1L2
例8．如图所示，一导体圆环位于纸面内，O为圆心。环内两个圆心角为90o的扇形区域内分别有匀强磁场，两磁场磁感应强度的大小相等，方向相反且均与纸面垂直。导体杆OM可绕O转动，M端通过滑动触点与圆环良好接触。在圆心和圆环间连有电阻R。杆OM以匀角速度ω逆时针转动，t=0时恰好在图示位置。规定从a到b流经电阻R的电流方向为正，圆环和导体杆的电阻忽略不计，则杆从t=0开始转动一周的过程中，电流随ωt变化的图象是
i i i i A． B． C． D． ωt O ωt O ωt O π ωt O π π 3 π π π π π 2 π 2 π 2 π 2 π π 3 π π 3 π 3 2 2 2 2 2 2 2 2
解：转动轴与磁感线平行。OM在扇形磁场区内转动时有恒定的感应电动势E?1B?L2，选C。
2练习8. 如图所示，xoy坐标系y轴左侧和右侧分别有垂直于纸面向外、
y 向里的匀强磁场，磁感应强度均为B，一个围成四分之一圆形的导体环oab，其圆心在原点o，半径为R，开始时在第一象限。从t=0起绕o点以角速度B b ω ω逆时针匀速转动。试画出环内感应电动势E随时间t而变的函数图象（以
a x o 顺时针电动势为正）。 解：
四、电磁感应的综合应用
1．电磁感应和恒定电流知识结合
M d a 例9．如图所示，粗细均匀的金属丝制成长方形导线框abcd（ad>ab），处
于匀强磁场中。同种材料同样规格的金属丝MN可与导线框保持良好的接触并做无摩擦滑动。当MN在外力作用下从导线框左端向右匀速运动移动到右端的c b N 过程中，导线框消耗的电功率的变化情况是
A．始终增大 B．先增大后减小 C．先减小后增大 D．增大减小，再增大再减小 解：MN相当于电源，金属框是外电路。当MN在左、右两端时，外电路总电阻R1最小，且小于电源内阻r；MN在中央位置时，外电路总电阻R2最大，且大于P出 Pm 内阻r。电源输出功率P出随外电阻R变化的规律如右图，当内、外电
阻相等时，电源的输出功率最大。本题当MN从导线框左端移动到右端的过程中，外电阻先从R1（小于r）增加到R2（大于r），输出功率
O r R R1 R2
先增大再减小；接着外电阻又从R2（大于r）减小到R1（小于r），输
d a 出功率又是先增大再减小。因此选D。
l
b c 2．电磁感应和牛顿运动定律知识结合
例10．如右图所示，闭合导体线框abcd从高处自由下落一段定距离后，进入
h B 一个有理想边界的匀强磁场中，磁场宽度h大于线圈宽度l。从bc边开始进入磁场到ad边即将进入磁场的这段时间里，下面表示该过程中线框里感应电流i随时间t
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变化规律的图象中，一定错误的是
A．i B． i C． i D． i O O O O t t t t
BLv?v，如果刚进入时安培力小于重力，将做解：bc进入磁场ad未进入磁场时，电流I?RB2L2v?ma，随着速度的增大，加速度将减小，A可能B不可能；加速运动，加速度向下：mg?R如果bc刚进入时安培力等于重力，将做匀速运动，D可能；如果bc刚进入时安培力大于重力，B2L2v?mg?ma，随着速度的减小，加速度将减小，加速度减到做减速运动，加速度将向上：R零后，达到稳定速度，C可能。因此一定错误的是B。
3．电磁感应和能量守恒知识结合
只要有感应电流产生，就一定伴随着能量的转化。要有意识地用能量守恒的思想分析问题。 例12．如图，矩形线圈abcd质量为m，宽为D，在竖直平面内由静止自由d c D 下落。其下方有如图方向的匀强磁场，磁场上下边界水平，宽也为D，ab边刚进
a b 入磁场就开始做匀速运动，那么在线圈穿越磁场的全过程产生多少电热？
D
解：ab刚进入磁场就做匀速运动，说明安培力与重力刚好平衡，由于线圈和磁场宽度相同，dc边刚进入磁场时ab边刚好穿出，因此穿出过程安培力与重力
仍平衡，即线圈穿越磁场过程始终是匀速的，在这下落2d的过程中，线圈的动能没有变，重力势能的减少全部转化为电能，由焦耳定律电流通过导线时，电能又全部转化为电热，
R 所以全过程产生电热等于全过程重力势能的减少，Q =2mgD。
例13．如图所示，竖直放置的足够长的U形导轨宽为L，上端串有电阻R（其
b 余导体部分的电阻都忽略不计）。磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直于纸面向外。a m L 金属棒ab的质量为m，与导轨接触良好，不计摩擦。从静止释放后ab保持水平而
B 下滑。求ab下滑的最大速度vm。
解：释放瞬间ab只受重力，开始向下加速运动。随着速度的增大，感应电动
势E、感应电流I、安培力F都随之增大，加速度随之减小。当F增大到F=mg时，加速度变为
mgRB2L2vm零，这时ab达到最大速度。由F??mg，可得vm?22
BLR注意分析该过程的功能关系：加速阶段重力做功的过程是重力势能向动能和电能转化的过程；安培力做功的过程是机械能向电能转化的过程；合外力（重力和安培力）做功的过程是动能增加的过程；电流做功的过程是电能向内能转化的过程。达到稳定速度后，重力势能的减小全部转化为电能，电流做功又使电能全部转化为内能。这时重力的功率等于电功率也等于热功率。
如果在该图上端电阻的右边串联接一只电键，让ab下落一段距离后再闭合电键，那么闭合电键后ab的运动情况又将如何？（无论何时闭合电键，ab可能先加速后匀速，也可能先减速后匀速，还可能闭合电键后就开始匀速运动，但最终的稳定速度总是一样的）。
例14．如图所示，固定的水平光滑金属导轨，间距为L，左端接有阻值为R的电阻，处在方向竖直、磁感应强度为B的匀强磁场中，质量为m的导体棒与固定弹簧相连，放在导轨上，导轨与导体棒的电阻均可忽略。初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体
m v0 - 5 -
R L B
棒具有水平向右的初速度v0。在沿导轨往复运动的过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触。⑴求初始时刻导体棒受到的安培力。⑵若导体棒从初始时刻到速度第一次为零时，弹簧的弹性势能为Ep，则这一过程中克服安培力所做的功W1和电阻R上产生的焦耳热Q1分别为多少？⑶导体棒往复运动，最终将静止于何处？从导体棒开始运动直到最终静止的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q为多少？
E解：⑴初始时刻感应电动势大小为E=BLv0，感应电流为I?，而安培力F=BLI，因此得
RB2L2v0F?，方向向左。
R⑵第一次向右运动阶段，由能量守恒，减小的动能转化为弹性势能和电能，电能又转化为焦
12耳热，因此W1=Q1= 2mv0?Ep
⑶最终导体棒动能将为零，感应电流也是零，因此弹簧弹力一定是零，静止在初始位置。全过程根据能量守恒，全部初动能都转化为焦耳热，因此Q=2mv0
例16．磁悬浮列车是一种新型交通工具。它的驱动系统简化为如下模型，固定在列车下端的动力绕组可视为一个矩形纯电阻金属框，电阻为R，金属框置于xOy平面内，长边MN长为l平行于y轴，宽为d的NP边平行于x轴，如图1所示。列车轨道沿Ox方向，轨道区域内存在垂直于金属框平面的磁场，磁感应强度B沿Ox方向按正弦规律分布，其空间周期为λ，最大值为B0，如图2所示，金属框同一长边上各处的磁感应强度相同，整个磁场以速度v0沿Ox方向匀速平移。设在短暂时间内，MN、PQ边所在位置的磁感应强度随时间的变化可以忽略，并忽略一切阻力。列车在驱动系统作用下沿Ox方向加速行驶，某时刻速度为v（v 解：⑴由于列车速度与磁 z B 场平移速度不同，导致穿过金B0 y Q M 属框的磁通量发生变化，金属 x O 框中会产生感应电流，该电流λ2λO x l 在磁场中受的安培力将阻碍列-B0 N d P 车和磁场的相对运动，由于 图1 图2 v ⑵MN、PQ应位于磁场中磁感应强度同为最大值且反向的位置，因此d应为λ/2的奇数倍， ?即d??2k?1? （k=1，2，3，??） 2⑶此时回路总电动势为E=2B0l(v0-v)，电流为I=E/R，MN、PQ每条边受的安培力为F=B0Il， 224B0l?v0?v?金属框受到的总驱动力为F驱?2F?。 R注意：线框左右两边切割磁感线产生的感应电动势应相加，是每边感应电动势的2倍；线框左右两边受到的安培力等大同向，因此驱动力是每边所受安培力的2倍。 12- 6 -