2．1．2 离散型随机变量的分布列
预习课本P46～48，思考并完成以下问题 1．离散型随机变量的分布列的定义是什么？
2．离散型随机变量分布列的性质是什么？
3．两点分布和超几何分布的定义是什么？
[新知初探]
1．离散型随机变量的分布列
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，?，xi，?，xn, X取每一个值xi(i＝1,2，?，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表：
X P
为离散型随机变量X的概率分布列， 简称为X的分布列．
用等式可表示为P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，?，n, 也可以用图象来表示X的分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥0，i＝1,2，?，n； ②?pi＝1．
i＝1n
x1 p1 x2 p2 ? ? xi pi ? ? xn pn [点睛] 对离散型随机变量分布列的三点说明
(1)离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值， 而且也能看出取每一个值的概率的大小， 从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况．
(2)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和． (3)离散型随机变量可以用分布列、解析式、图象表示． 2．两个特殊分布 (1)两点分布
随机变量X的分布列是：
X P
则称离散型随机变量X服从两点分布，称p＝P(X＝1)为成功概率． (2)超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X
nk
CkMCN－M
＝k}发生的概率P(X＝k)＝，k＝0,1,2，?，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，
CnN
－
0 1－p 1 p n，M，N∈N*，
称分布列
X P 0 n0C0MCN－M CnN－1 n1C1MCN－M CnN－? ? m nmCmMCN－M nCN－为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称离散型随机变量X服从超几何分布．
[点睛] (1)超几何分布的模型是不放回抽样． (2)超几何分布中的参数是M，N，n．
(3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( ) (2)在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．( )
(3)超几何分布的总体里只有两类物品．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√
2．设离散型随机变量ξ的概率分布如下表：
ξ P 则p的值为( ) 1
A．
21C．
3答案：C
3．若随机变量X服从两点分布， 且P(X＝0)＝0．8，P(X＝1)＝0．2，令Y＝3X－2，
1B． 61D．
41 1 62 1 33 1 64 p 则P(Y＝－2)＝________．
答案：0．8
1
4．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝k，k＝1,2，?，则P(2＜X≤4)＝_______．
2答案：
3 16
求离散型随机变量的分布列
[典例] 一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量ξ的分布列．
[解] 随机变量ξ的可能取值为3,4,5．
当ξ＝3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他两只球的编号只能是1,2，故有C212
P(ξ＝3)＝3＝；
C510
当ξ＝4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他两只球只能在编号为1,2,3的3只球中取2只，
C233
故有P(ξ＝4)＝3＝；
C510
当ξ＝5时，即取出的三只球中最大号码为5，则其他两只球只能在编号为1,2,3,4的4C2634
只球中取2只，故有P(ξ＝5)＝3＝＝．
C5105
因此，ξ的分布列为
ξ P
求离散型随机变量分布列的步骤
(1)首先确定随机变量X的取值； (2)求出每个取值对应的概率；
(3)列表对应，即为分布列． [活学活用]
某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人．现从中抽1人，其血型为随机变量X，求X的分布列．
3 1 104 3 105 3 5解：将O，A，B，AB四种血型分别编号为1,2,3,4，则X的可能取值为1,2,3,4． C12C141012
P(X＝1)＝1＝， P(X＝2)＝1＝，
C459C4515C18C11815
P(X＝3)＝1＝， P(X＝4)＝1＝．
C4545C453故其分布列为
X P
离散型随机变量分布列的性质
1?k
[典例] 设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝a??3?．(k＝1,2，?，n)，求实数a的值． 1[解] 依题意，有P(ξ＝1)＝a，
31?2?1?na， P(ξ＝2)＝?a，?，P(ξ＝n)＝?3??3?由P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋?＋P(ξ＝n)＝1， 111
＋2＋?＋n?＝1． 知a?3??3311?
1－n?3?3?则a·＝1．
11－32×3n
∴a＝n．
3－1
离散型随机变量的分布列的性质的应用
(1)通过性质建立关系，求得参数的取值或范围，进一步求出概率，得出分布列． (2)求对立事件的概率或判断某概率是否成立． [活学活用]
1．设随机变量ξ只能取5,6,7，?，16这12个值，且取每一个值概率均相等，若P(ξ ＝，则x的取值范围是________． 12 解析：由条件知P(ξ＝k)＝答案：(5,6] k 2．设随机变量X的分布列P(X＝i)＝i(i＝1,2,3)，则P(X≥2)＝________． 2 11 ，k＝5,6，?，16，P(ξ 1 2 92 4 153 8 454 1 3解析：由已知得随机变量X的分布列为 X P kkk8∴＋＋＝1，∴k＝． 2487 kk213∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝＋＝． 487773 答案： 7 两点分布 ?0，两球全红，? [典例] 袋中有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记X＝?求随 ?1，两球非全红，? 1 k 22 k 43 k 8 机变量X的分布列． C23386 [解] 由题意知，X服从两点分布，P(X＝0)＝2＝，所以P(X＝1)＝1－＝． C11111111所以随机变量X的分布列为 X P 两点分布的4个特点 (1)两点分布中只有两个对应结果，且两结果是对立的； (2)两点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0； (3)由互斥事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))． (4)在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，就可以利用两点分布来研究它． [活学活用] 已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求X的分布列． C299199解：由题意知，X服从两点分布，P(X＝0)＝2＝， C200100所以P(X＝1)＝1－ 991＝． 100100 0 3 111 8 11