再令m(x)?2lnx?则m?(x)??2x1222x??2,x?(0,?2(1?x)x212),?2x
?0,故m(x)在(0,)上为减函数,
1于是m(x)?m()?2?2ln2?0,2从而,l(x)?0,于是l(x)在(0,12
)上为增函数,1所以l(x)?l()?2?4ln2,2故要使a?2?2lnxx?1恒成立,只要a??2?4ln2,???,1
综上，若函数f(x)在(0,)上无零点,
2则a的最小值为2?4ln2.????9分
（III）证明：由第（I）问可知f(x)?(x?1)?2lnx在(0,1]上单调递减。
?0?nm?1,?f(nmnm)?f(1) ???12分
n?mm?2(lnn?lnm)
?(?nmm?1)?2ln?0?m?n?2(lnm?lnn)，
?2m ???14分
即
m?nlnm?lnn
21. （本小题满分14分）
（本小题主要考查数列、不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）
)?解：⑴、?对任意的正数x、y均有f(xyf(?x)f(且y第 11 页 共 12 页
1f()??1．???2分 2又?an?0且f(Sn)?f(an)?f(an?1)?1?f(an)?f(an?1)?f()
2?f(Sn)?f[(an?an)?2112]， ??????????4分
又?f(x)是定义在?0,???上的单增函数，?Sn?当n?1时，a1?12212(an?an)．
2(a1?a1)，?a1?a1?0．?a1?0，?a1?1．
222当n?2时，?2an?2Sn?2Sn?1?an?an?an?1?an?1，
??an?为?(an?an?1)(an?an?1?1)?0．?an?0?an?an?1?1(n?2)，
等差数列，a1?1,d?1，?an?n． ???????6分 ⑵、假设M存在满足条件， 即M?2a1a2??an2n?1(2a1?1)(2a2?1)??(2an?1)n
对一切n?N恒成立． ?????８分 令g(n)?2a1a2??an2n?1(2a1?1)(2a2?1)??(2an?1)n*，
?g(n?1)?2n?1?1?2????n?(n?1)， ?????10分
2n?3?1?3????(2n?1)(2n?1)g(n?1)g(n)2n?22n?12n?34n?8n?44n?8n?322故
???1，??????12
分
?g(n?1)?g(n)，?g(n)单调递增，?n?N，g(n)?g(1)?*233．
?0?M?233． ???????????14分
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