第七单元 向量代数 空间解析几何
一、 向量概念及其加、减法和数乘运算 1、两点A（x1,y1）, B（x2,y2）之间的距离 d?(x2?x1)2?(y2?y1)2
AB 2、向量的定义：既有大小，又有方向的量。记作： 或a
(x2?x1)?(y2?y1) 向量的模：︱ ︱?AB AB
0向量：模为0的向量。记作：0
单位向量：模为1的向量。记作：a，a?0
220aa（a?aa）
03、两向量相等：方向相同，模相等。记作：a=b
4、加法运算：a+b=b+a (交换律) (a+b)+c = a+(b+c) （结合律） 5、数与向量的积：记作λa （λ为常数） λa的模：︱λa︱=︱λ︱︱a︱
λa的方向：当λ>0时，与a同向，当λ<0时，与a反向。 6、向量的坐标表示法：
设向量的起点为M1（x1,y1,z1）,终点为M2（x2,y2,z2）,则 = (x2-x1)i+(y2-y1)j+(z2-z1)k
M1M2
222 ︱ ︱M1M2 =(x2?x1)?(y2?y1)?(z2?z1)
7、基本单位向量：三个坐标轴上正方向上的单位向量i，j，k 8、向量的加、减法与数乘运算
a = axi + ayj + azk, b = bxi + byj + bzk a±b =（ax±bx）i+（ay±by）j +（az±bz）k λa = (λax)i + (λay)j + (λaz) k
例1 设向量a=8i+9j-12k，其始点坐标为A（2，-1，7）
（1） 求其终点B的坐标
（2） 如取向量a方向且模为34的向量，求该向量的终点坐标（始点仍为A）
解：（1）设终点坐标为B（x,y,z）,则有
=(x-2)i +(y+1)j +(z-7)k，令 = a，即
AB AB 8i+9j-12k=(x-2)i +(y+1)j +(z-7)k，所以有： x-2=8，y+1=9，z-7=-12，解得x=10,y=8,z=-5 故终点坐标为B（10，8，-5）
（2）与a同向的单位向量为：
a=a∕∣a∣=
0
8i?9j?12k82?92?(?12)2?1(8i?9j?12k) 17与a同向的模为34的向量为：
0
b=34a=16i+18j-24k
设其终点坐标为B（x,y,z）,仿（1）得x-2=16，y+1=18，z-7=-24，解得x=18,y=17,z=-17
故终点坐标为B（18，17，-17） 9、方向角与方向余弦
向量a分别与x、y、z三个坐标轴的正向不超过?的夹角，用α、β、γ表示，则
22
称他们为向量a的方向角，cosα、cosβ、 cosγ称为方向余弦，且cosα+cos
2
β+cosγ=1
10、单位向量的三角表示法
0
a=icosα+jcosβ+kcosγ 11、方向余弦的计算
设向量a的坐标表示为：a= xi +yj +zk，则 cos??aazx?xx?y?zzx?y?z222222,cos??ay?yx?y?z222
cos???
0
0
例2 设向量a ={x,y,z}的方向角α=60，β=60且∣a∣=3，问这种向量有几个，求之。
222
解：设第三个方向角为γ，则由cosα+cosβ+cosγ=1得 cosγ=1-cos60-cos60=
的向量也有两个：
a =∣a∣a= 3（icosα+jcosβ+kcosγ）=
0
2
2
0
2
0
1?3?2，cosγ=?,这样的γ有两个子与，所以这样
44223332i+j+k 222 或 a =
3332i+j-k (单位向量的三角表示式)
222例3 设一向量与x轴及y轴的夹角相等,而与z轴的夹角是前者的2倍,求这个向量的方向
余弦.
解: 设该向量与x、y轴的夹角为α，则与z轴的夹角为2α，
222222
所以cosα+cosα+cos2α=1,2cosα+(2cosα-1)=1
即4cosα-2cosα=0,解得cosα=0或cos???4
2
2（负值为第二象限的角，22倍大于?，故舍去）???2,???4
所以方向余弦为0，0，-1或
22,,0 22二、 数量积（点积）和向量积（叉称）的计算及应用
1、数量积（点积）：a·b=∣a∣∣b∣cosθ, 为一数量 θ为a与b的夹角，??? 运算性质：a·b= b·a (交换律) a·（b+c）= a·b + a·c (分配律)
2
λ(a·b)= (λa)·b = a·(λb) (结合律) 2、两向量间的位置关系
向量a在向量b上的投影： （数量） ab= ∣a∣cos(a,b)或记作Prjba
平行：a∥b ? a=λb或b=λa或λa+μb=0
（λ，μ不同时为0） 垂直：a⊥b ? a·b=0 （(a,b)=
2
?，cos(a,b)=0) 2 a·a=∣a∣
两向量的夹角计算公式:设a = {x1,y1,z1}, b = {x2,y2,z2},
222222 则 ∣a∣=x1?y1?z1,∣b∣=x2?y2?z2
a·b = x1x2 + y1y2 + z1z2 cos(a,b)= a?ba?b=
x1x2? y1y2 ? z1z2x?y?z212121x?y?z222222
3、向量积
a×b = c 为一向量 ① 模：∣a×b∣=∣a∣∣b∣sinθ, θ为a与b的夹角，??? ② C垂直于a、b所确定的平面
∣a×b∣的几何意义:以a、b为邻边的平行四边形的面积（也可用于计算三角形的
面积）
运算性质：a×b = - b×a
a×（b+c）= a×b + a×c
(λa) ×b =λ(a×b) = a×(λb) 计算方法：a = {x1,y1,z1}, b = {x2,y2,z2},则 i j k a×b = x1 y1 z1 (为一向量) x2 y2 z2 4、两向量平行的充分必要条件 a×b = 0 即
axayazx1y1z1 ??,或??x2y2z2bxbybz 5、基本单位向量的点、叉积关系
i·i = j·j = k·k = 1, （θ=0,cosθ=1）
i·j = j·k = k·I = 0, （θ=
i×i = j×j = k×k = 0,
i×j = k , j×k = I , k×i = j 6、三阶行列式的计算
?,cosθ=0） 2 3
a1 b1 c1 a1 b1
a2 b2 c2 a2 b2 =a1b2c3+b1c2a3+c1a2b3-c1b2a3-a1c2b3-b1a2c3 a3 b3 c3 a3 b3 三条实斜线为主对角线，三条虚斜线为次对角线。
计算方法：主对角线上三个元素之积的和减去次对角线上三个元素之积的和 a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3
例4 设a ={-1，2，-2}，b ={1，-3，4},试计算a· b，a× b，
(a+b) ×(a-b),cos(a,b)
解: a· b = x1x2+y1y2+z1z2=(-1) ×1+2×(-3)+(-2) ×4 = -15
ijkijk a×b = x1y1z1??12?2?2i?2j?k
x2y2z2ijk2?{?4,?4,?2}
1?34 (a+b)×(a-b)= {0，-1， 2}×{-2，5，-6} ??0?1?25?6 cos(a,b)=a?bab??15(?1)2?22?(?2)212?(?3)2?42??526 26例5 已知四个点A(0,0,0),B(3,4,-1),C(2,3,5),D(6,0,-3),求
△ ABC的面积.
解: △ABC面积应为以 为邻边的平行四边形面积的一半.
AB AC ={3,4,-1}, ={2,3,5} AC AB
ijkAC 34 × ?AB ?1?{23,?17,1} 523 △ABC面积=
11391︱ × ︱=AC 232?(?17)2?12?AB 222 例6 求与向量a ={2,-1,2}平行且满足a·b =-18的向量b
2222
解:设b=λa,则a·b=λ︱a︱=λ(2+(-1)+2)=-18 解得λ=-2,即设b={-4,2,-4}
例7 在xoy平面上求一个垂直于向量a={5,-3,4}且与a等长的向量b 解: 因b在xoy平面,可设b={x,y,0}（在xoy平面上z=0）,则
222222
a· b=5x-3y=0,︱b︱=x+y=5+(-3)+4=50 (︱a︱=︱b︱) 由上两方程联立解得x??1517,y??2517
4
b={?1517,?2517,0} （方向相反的两个向量）
例8 已知a={m,5,-1}, b={3,1,n}互相平行,求m,n 解: 因a∥b,所以有
m5?11??,解得m=15,n?? 31n5
例9 设向量a={3，4，-2}，b={2,1,k},若a与b垂直，则k=( 5) (05、10)
解：因a与b垂直，所以a·b = 0，即{3，4，-2}·{2,1,k}=0 6+4-2k=0,解得k=5
例10 设向量︱a︱=1，︱b︱=2，︱a+b︱=3，则a·b = （-1） （05B、10）
解：设a = {x1,y1,z1}, b = {x2,y2,z2}，
222则x1?y1?z1?1,222x2?y2?z2?2
222︱a+b︱=(x1?x2)?(y1?y2)?(z1?z2)
222222 =(x1?y1?z1)?(x2?y2?z2)?2(x1x2?y1y2?z1z2)
=5?2(x1x2?y1y2?z1z2)?3 解得 x1x2?y1y2?z1z2??1 a·b = x1x2?y1y2?z1z2??1
例11 设︱a︱=1，a⊥b，则a·（a+b）= （1） （06、10）
2
解：因a⊥b，所以a·b =0，a·（a+b）= a·a+a·b=︱a︱=1 例12 已知a，b均为单位向量，且a·b=
1，则以向量a，b为邻边的平行四边形的面积为 2（
3） （07，10） 211?，cos(a,b)=, a,b= 223解：因a，b均为单位向量，所以︱a︱=︱b︱=1
a·b=︱a︱︱b︱cos(a,b)=
平行四边形的面积=︱a×b︱=︱a︱︱b︱sin(a,b) =sin?3?3 2例13 设a={1，2，3}，b={3，2，4}，则a×b= （C） （08、4） A、{2，5，4} B、{2，-5，-4} A、{2，5，-4} A、{-2，-5，4}
5