n={7，8，9}，故有
i s=n×s1=4j58k6??3{1,?2,1}，所以，所求直线方程为： 97
x?1y?2z?3?? 1?21例19 求过点M（3，1，-2）且与两平面x-y+z-7=0,4x-3y+z-6=0都平行的直线方程。 （06、19）
解：设所求直线的方向向量为s，则s垂直两平面的法向量，故有
ijk s=1?11?{1,3,1}，所以，所求直线方程为：
4?31x?3y?1z?2?? 231x+y+z+2=0 例20 求过点（1，2，3）且垂直于直线 的平面方程。（07、19）
解：设所求平面的法向量为n，则n垂直于两平面的法向量，故有2x-y+z+1=0
i n=1j1k1?{2,1,?3}，所以，所求平面方程为：
2?112(x-1)+(y-2)-3(z-3)=0,即 2x+y-3z+5=0 例21 已知平面π过三点A（2，0，0），B（0，3，0），C（0，0，5），求过点（1，2，1）且垂直于平面π的直线方程。 （08、17）
解：法一：设平面方程为Ax+By+Cz+D=0,代入A，B，C点的坐标得：
DDD,B??,C??，所以平面方程为：15x+10y+6z-30=0,则 235x?1y?2z?1??s=n={15，10，6}，所以，所求直线方程为： 15106A??法二：因AB={-2,3,0}，BC={0,-3,5}，
ijk0?{15,10,6}，所以，所求直线方程为：
则s=AB×BC??230?35
x?1y?2z?1?? 151065、建立直线方程 （1）确定直线上的一点M0（x0,y0,z0）及直线的方向向量s={m,n,p}，建立标准式方程。 （2）作过点M0（x0,y0,z0）且垂直于平面?:Ax?By?Cz?D?0的直线方程：取M0（x0,y0,z0）及方向向量s={A,B,C}，即可建立标准式方程。 （3） 作过点M1（x1,y1,z1），M2（x2,y2,z2）的直线方程：取M0（x0,y0,z0）= M1（x1,y1,z1）
（或= M2（x2,y2,z2））及方向向量s={x2-x1, y2-y1, z2-z1},即可建立标准式方程。
（4）找到直线所在的两个平面，这两个平面方程联立就是所求的直线方程。（一般方
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程）
（5）建立过已知点M0（x0,y0,z0）且与直线 l:x?x1y?y1z?z1垂直的平面??mnp方程，用点法式：即m(x-x0)+ n(y-y0)+p(z-z0)=0
三、简单的二次曲面
1、曲面方程：F(x,y,z)=0为二次方程时，它所表示的曲面称为二次曲面。 2、柱面方程
F(x,y)=0表示母线平行于oz轴的柱面，则称其为柱面方程。 F(y,z)=0表示母线平行于ox轴的柱面，则称其为柱面方程。 F(x,z)=0表示母线平行于oy轴的柱面，则称其为柱面方程。 说明：方程中的三个未知量x,y,z中，缺者为平行于该轴的柱面。
222
x+y-a=0表示母线平行于oz轴的圆柱面方程。
222
y+z-b=0表示母线平行于ox轴的圆柱面方程。 222
x+z-c=0表示母线平行于oy轴的圆柱面方程。 3、球面方程
2222
(x-a)+(y-b)+(z-c)=R表示球心在(a,b,c),半径为R的球面方程。 4、椭球面方程
x2y2z2 2?2?2?1表示中心在原点的椭球面方程。 abc5、锥面方程
x2y2z2???1表示顶点在原点，oz轴为对称轴的锥面方程。 a2b2c2说明：负项表示对称轴。
6、以坐标轴为旋转轴的旋转面方程
设在yoz坐标面上曲线c的方程为f(y,z)=0,绕z轴旋转方程为
f(?x2?y2,z)?0（轴变量不变，另一变量改写成除轴变量外的两变量平方和
22的开方）；绕y轴旋转方程为f(y,?x?z)?0
7、旋转抛物面
若f(y,z)=0为yoz面上的抛物线，则前述旋转面方程称为旋转抛物面方程。 例22 求下列曲面方程
（1）在xoy平面上的直线y=2x绕x轴旋转的旋转曲面方程；（圆锥面）
2
（2）在xoz平面上的曲线x=2z绕x轴旋转的旋转曲面方程；（抛物面） 解：（1）绕x轴旋转，x不变，方程中的y换成? 即4x=y+z
（2）绕x轴旋转，x不变，方程中的z换成?2
2
2
z2?y2,得?z2?y2?2x
z2?y2,得x?2(y2?z2)
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