i解：a×b?jk223?{2,5,?4} 413三、 平面与直线 平面 1、 平面方程
（1） 平面的点法式方程：平面过点M0（x0,y0,z0）,以n={A,B,C} 为法向量，方
程为：A（x- x0）+ B（y- y0）+ C（z- z0）=0 （2） 平面的一般方程：Ax+ By+ Cz+D=0 （A，B，C不全为零）,其法向量为n={A,B,C}
（3） 平面的截距式方程：
xyz???1 （a,b,c分别为x轴，y轴和z轴上的abc2、
3、
截距，且a·b·c≠0） 特殊的平面方程：
过原点的平面方程：Ax+By+Cz=0
平行于oz轴的平面方程：Ax+By+D=0 过oz轴的平面方程：Ax+By =0
平行于坐标平面xoy的平面方程：Cz+D=0
说明：过其他轴及平面的方程，可仿照上述方程写出。 两平面的位置关系：
设两个平面的方程分别为?1：A1x+ B1y+ C1z+D1=0 ?2：A2x+ B2y+ C2z+D2=0 ：A1 A2+ B1 B2+ C1 C2=0 ?1⊥?2（充要条件）：?1∥?2（充要条件）
A1B1C1 ??A2B2C2A1B1C1D1 ???A2B2C2D2：?1与?2重合（充要条件）
4、 建立平面方程
（1） 已知平面上的一点M0（x0,y0,z0）,以及法向量n={A,B,C} ，可直接写出点法
式方程 。 （2） 过点 M（作平行于?1：A1x+ B1y+ C1z+D1=0的平面方程，取n={A1,B1,C1}0x0,y0,z0）及M0（x0,y0,z0），即可写出点法式方程 。
（3） 过点 M0（x0,y0,z0）作垂直于向量{A，B，C}的平面方程，取n={A,B,C}及M0
（x0,y0,z0），即可写出点法式方程 。
（4） 过点M1（x1,y1,z1）M2（x2,y2,z2）M0（x3,y3,z3）的平面方程，设所求平面方程
为Ax+ By+ Cz+D=0，将已给三点的坐标代入，得到一个以A，B，C，D为未知量的方程组，求出A，B，C，D即得所求平面方程（一般情况下要选一个自由
6
量）。
例1 平面过点P（-3，1，5）且平行平面x-2y-3z+1=0，求此平面的方程。 解：已知平面的法向量为：n={1,-2,-3}，即为所求平面的法向量 所以，1（x+3）-2(y-1)-3(z-5)=0 即所求平面的方程为：x-2y-3z+20=0
例2 求通过不在一条直线上的三点P1（1，2，3），P2（-1，0，0），和P3（3，0，1）的
平面方程。
解：法一：所求平面的法向量应垂直P1P2，P1P3 P1P2={-2，-2，-3}，P1P3={2，-2，-2}
ijk n ??2?2?3?{?2,?10,8}
2?2?2 所以平面方程为：-2(x-1)-10(y-2)+8(z-3)=0 (点法式) 即x+5y-4z+1=0
法二：设所求平面方程为：A(x-1)+B(y-2)+C(z-3)=0 因平面过P2，P3点，代入方程得：
2A+2B+3C=0 ① A-B-C=0 ② 由①，②联立解得A?? B??1C 45C，代入所设方程，消去C得所求平面方程为：x+5y-4z+1=0 4 法三：设所求平面方程为：Ax+By+Cz+D=0 (一般式)
用P1，P2，P3的坐标代入得A+2B+3C+D=0,-A+D=0,3A+C+D=0，联立解得A=D，B=5D，
C=-4D，代入所设方程得：Dx+5Dy-4Dz+D=0,即x+5y-4z+1=0
例3 平面过原点，且垂直于平面x+2y+3z-2=0, 也垂直于平面6x-y+5z+23=0,求此平面
方程。
i解：所求平面的法向量n=n1×n2=1j2k3?13{1,1,?1}
6?15 所求平面方程为：x+y-z=0 例4 设平面过点（5，-7，4），且在三个坐标轴上的截距相等，求这个平面方程。 解：设这个平面方程为：
程为：x+y+z-2=0
直线
1、直线方程
（1）标准方程（点向式，对称式）：过点M（且平行于方向向量s={m,n,p}0x0,y0,z0）
的直线方程：
xyz???1，用（5，-7，4）代入得a=2, 故所求平面方aaax?x0y?y0z?z0 ??mnpA1x+B1y+C1z+D1=0 (其中A1,B1,C1与A2,B2,C2不成比例) A2x+B2y+C2z+D2=0 （2）一般方程（交面式）：
7
（3）参数式方程： (t为参数) x=x0+mt
y=y0+nt 说明：直线过M0（x0,y0,z0）点，方向向量为s={m,n,p}
z=z0+pt 2、两直线间的位置关系：
设两直线的方程分别为：l1:x?x1y?y1z?z1 ??m1n1p1x?x2y?y2z?z2 ??m2n2p2 l2:： m1m2?n1n2?p1p?02 l1?l2（充要条件）： l1∥l2（充要条件）
m1n1p??1 m2n2p2例5 求过两点A（0，-3，2），B（-1，2，4）的直线方程。 解：取s=AB={-1，5，2} 所求直线方程为：
xy?3z?2?? ?152
例6 将直线L的一般方程 x+2y-3z-5=0 化为标准方程。（点向式） 解：直线的方向向量垂直于两平面的法向，取n1={1，2，-3}
x-2y-z+7=0 ijk n2={1，-2，-1}，s=12?3??2{4,1,2} ①求出方向向量
1?2?1 令z=0,解得x=-1,y=3 ②求出一点的坐标 所求直线方程为：
x-y+z+5=0 例7 过点（0，-3，2）且平行于直线 的直线方程。 x?1y?3z?? 412ijk3x-8y+4z+36=0 解：已知直线的方向向量为：s=1?11?{4,?1,?5}(方向向量垂直于两平面的法向3?84量)
所求直线与s平行，且过点（0，-3，2），故其方程为：
xy?3z?2?? 4?1?5 3、直线 l1与平面 ?间的位置关系：
设直线与平面的方程分别为：l:x?x0y?y0z?z0 ??mnp 8
?:Ax?By?Cz?D?0 ：l1??（充要条件）
ABC?? （方向向量与法向量平行） mnp：Am?Bn?Cp?0 （方向向量与法向量垂直） l1∥?（充要条件）
Am+Bn+Cp=0 Ax0+By0+Cz0+D=0 (x0, y0, z0,为直线上的点)
l1落在?上（充要条件）： 4、直线方程与平面方程的区别：
直线方程用连等式或方程组表示；平面方程为一个三元一次方程。 例8 求过两点P1（1，0，-1）和P2（-2，1，3）且与直线平面方程。
解：已知直线的方向向量s={2,-1,1}, P2 P1={3,-1,-4}
x?3y?5z?4??平行的2?11i 所求平面的法向量n=2jk?11?{5,11,1}
3?1?4 所求平面方程为：5(x-1)+11y+1(z+1)=0
即5x+11y+z-4=0
例9 求过点P（1，2，-1）且垂直于平面2x-y+3z+1=0的直线方程。 解：方向向量s平行于n,取s=n={2,-1,3} 所求直线方程为：
x?1y?2z?1?? 2?13例10 直线L通过一个定点P（0，-1，2）且同时与平面x-2y+5z-1=0及3z-y-x=0平行，
求L的方程。
解：由已知条件知，L的方向向量同时垂直于两平面的法向量，故有：
is=1jk?25?{?1,?8,?3}
xy?1z?2?? 183?1?13 所求直线方程为：
例11 判定平面x-y+2z=1及-3x+3y-6z=2的位置关系。
解：已知条件知：A1=1，B1=-1， C1=2；A2=-3，B1=3， C1=-6 所以，
A1B1C11???? （对应成比例） A2B2C23x?1y?1z?2x?1yz?2??,l2:??的位置关系。 1?12?1119
故知两平面平行。 例12 判定两直线l1:
解：由已知条件知：m1=1, n1=-1 p1=2；m2=-1, n2=1 p2=1； m1 m2+ n1 n2+ p1 p2=-1-1+2=0 所以l1?l2 例13 判定直线L：
x?2y?2z?3??及π：4x-2y-2z=3的位置关系。 ?2?73 解：由已知条件知：s={-2,-7,3},n={4,-2,-2}
则s·n=(-2)4+(-1)(-2)+3(-2)=0 (方向向量与法向量垂直)
所以，L∥π，由于M0=(2,-2,3)在直线L上，代入π的方程可得4×2-2×(-2)-2×
3=6≠3,即M0不在平面上，故知直线L平行于平面π但不在平面π上。
例14 求平面2x-3y-z+12=0在三个坐标轴上的截距。 解：由平面2x-3y-z+12=0可得： （化为截距式方程）
xyz???1 ?6412 故在x,y,z三个坐标轴上的截距分别为：-6，4，12
例15 过点（0，2，4）且与平面x+2z=1及平面y-3z=2都平行的直线方程。 解：所求直线的方向向量与平面x+2z=1及平面y-3z=2法向量都垂直，故
is=1j0k2?{?2,3,1}，且过点（0，2，4），故其方程为：
01?3
xy?2z?4?? ?231例 16 求直线解：设
x?3y?2z??与平面x+2y+2z+6=0的交点。 3?21x?3y?2z???t，则x=3t-3,y=-2t-2,z=t代入平面方程得： 3?21（3t-3）+2（-2t-2）+2t+6=0,解得 t=1,故直线与与平面的交点坐标为：x=0,y=-4,z=1,即
（0，-4，1）
例17 求过点A（3，1，-2），且通过直线
x?4y?3z??的平面方程。 （05、18） 521解：直线上的点为（4，-3，0）在平面上，AB={1，-4，2}，设所求平面的法向量为n，则n
⊥AB，n⊥s,故有
i5j2k2?{?8,9,22} （取平面的法向量为直线的方向向量） 1 n=1?4 所求平面方程为：-8(x-3)+9(y-1)+22(z+2)=0 即 8x-9y-22z-59=0
例18 求过点A（-1，2，3）且垂直于直线L：
xyz??，又与平面π：7x+8y+9z+10=0456平行的直线方程。 （05B、20）
解：设所求直线的方向向量为s，已知直线的方向向量s1={4，5，6}，已知平面的法向量为
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