数列（2）——等差数列及其前n项和
[知识能否忆起]
一、等差数列的有关概念
1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．
a＋b
2．等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差
2中项．
二、等差数列的有关公式 1．通项公式：an＝a1＋(n－1)d. 2．前n项和公式：Sn＝na1＋三、等差数列的性质
1．若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，{an}为等差数列，则am＋an＝ap＋aq. 2．在等差数列{an}中，ak，a2k，a3k，a4k，?仍为等差数列，公差为kd. 3．若{an}为等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，?仍为等差数列，公差为n2d.
4．等差数列的增减性：d>0时为递增数列，且当a1<0时前n项和Sn有最小值．d<0时为递减数列，且当a1>0时前n项和Sn有最大值．
d
5．等差数列{an}的首项是a1，公差为d.若其前n项之和可以写成Sn＝An2＋Bn，则A＝，B
2d
＝a1－，当d≠0时它表示二次函数，数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn是{an}成等差数列
2的充要条件．
[小题能否全取]
1．(2012·福建高考)等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为( ) A．1 B．2 C．3
D．4
n?n－1??a1＋an?n
d＝. 22
??2a1＋4d＝10，
解析：选B 法一：设等差数列{an}的公差为d，由题意得?
?a＋3d＝7.?1??a1＝1，
解得?故d＝2.
?d＝2.?
法二：∵在等差数列{an}中，a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5.又a4＝7，∴公差d＝7－5＝2.
π3π
2a4－?＝( ) 2．(教材习题改编)在等差数列{an}中，a2＋a6＝，则sin?3??2A.3
2
1B. 21D．－
2
C．－3
2
π3ππ3π3ππ12a4－?＝sin?－?＝－cos＝－. 解析：选D ∵a2＋a6＝，∴2a4＝.∴sin?3???23?22323．(2012·辽宁高考)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝( ) A．58 C．143
B．88 D．176
11?a1＋a11?11?a4＋a8?
解析：选B S11＝＝＝88.
22
4．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝an＋2(n≥1)，则该数列的通项an＝________. 解析：由an＋1＝an＋2知{an}为等差数列其公差为2. 故an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.答案：2n－1
1
5．(2012·北京高考)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＝，S＝a，则a2＝________，
223Sn＝________.
解析：设{an}的公差为d，
由S2＝a3知，a1＋a2＝a3，即2a1＋d＝a1＋2d， 11
又a1＝，所以d＝，故a2＝a1＋d＝1，
22
11111111
Sn＝na1＋n(n－1)d＝n＋(n2－n)×＝n2＋n.答案：1 n2＋n
222244441.与前n项和有关的三类问题
(1)知三求二：已知a1、d、n、an、Sn中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想．
dd
a1－?n＝An2＋Bn?d＝2A. (2)Sn＝n2＋?2??2
(3)利用二次函数的图象确定Sn的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值． 2．设元与解题的技巧
已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为?，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，?；
若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为?，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，?，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．
考点一
典题导入
[例1] 在数列{an}中，a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3(n≥2，且n∈N*)． (1)求a2，a3的值；
an＋3
(2)设bn＝n(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列．
2
[自主解答] (1)∵a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3(n≥2，且n∈N*)，∴a2＝2a1＋22＋3＝1，a3＝2a2＋23＋3＝13.
(2)证明：对于任意n∈N*，
an＋1＋3an＋311＋
∵bn＋1－bn＝n＋1－n＝n＋1[(an＋1－2an)－3]＝n＋1[(2n1＋3)－3]＝1，
2222a1＋3－3＋3
∴数列{bn}是首项为＝＝0，公差为1的等差数列．
22
由题悟法
1．证明{an}为等差数列的方法：
(1)用定义证明：an－an－1＝d(d为常数，n≥2)?{an}为等差数列； (2)用等差中项证明：2an＋1＝an＋an＋2?{an}为等差数列； (3)通项法：an为n的一次函数?{an}为等差数列； n?a1＋an?
(4)前n项和法：Sn＝An2＋Bn或Sn＝. 2
2．用定义证明等差数列时，常采用的两个式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d，但它们的意义不同，后者必须加上“n≥2”，否则n＝1时，a0无定义．
以题试法
1．已知数列{an}的前n项和Sn是n的二次函数，且a1＝－2，a2＝2，S3＝6. (1)求Sn；
(2)证明：数列{an}是等差数列． 解：(1)设Sn＝An2＋Bn＋C(A≠0)，
－2＝A＋B＋C，??
则?0＝4A＋2B＋C，解得A＝2，B＝－4，C＝0.故Sn＝2n2－4n. ??6＝9A＋3B＋C，
(2)证明：∵当n＝1时，a1＝S1＝－2.
等差数列的判断与证明
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－4n－[2(n－1)2－4(n－1)]＝4n－6. ∴an＝4n－6(n∈N*)．an＋1－an＝4， ∴数列{an}是等差数列.
考点二 等差数列的基本运算 典题导入
[例2] (2012·重庆高考)已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12. (1)求{an}的通项公式；
(2)记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求正整数k的值． [自主解答] (1)设数列{an}的公差为d，由题意知
???2a1＋2d＝8，?a1＝2，?解得? ?2a1＋4d＝12，???d＝2.
所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n.
n?a1＋an?n?2＋2n?(2)由(1)可得Sn＝＝＝n(n＋1)．
22因为a1，ak，Sk＋2成等比数列，所以a2k＝a1Sk＋2. 从而(2k)2＝2(k＋2)(k＋3)，即k2－5k－6＝0， 解得k＝6或k＝－1(舍去)，因此k＝6.
由题悟法
n?a1＋an?n?n－1?
1．等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d及前n项和公式Sn＝＝na1＋d，共
22涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想． 2．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．
以题试法
2．(1)在等差数列中，已知a6＝10，S5＝5，则S8＝________.
S4S3
(2)(2012·江西联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若－＝1，则公差为________．
129解析：(1)∵a6＝10，S5＝5，
?a1＋5d＝10，?a1＝－5，??∴?解方程组得?则S8＝8a1＋28d＝8×(－5)＋28×3＝44. ??5a＋10d＝5.d＝3.?1?
4×33×24a1＋6d3a1＋3d(2)依题意得S4＝4a1＋d＝4a1＋6d，S3＝3a1＋d＝3a1＋3d，于是有－22129＝1，由此解得d＝6，即公差为6. 答案：(1)44 (2)6
等差数列的性质 典题导入
[例3] (1)等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则前9项和S9等于( ) A．66 B．99 C．144
D．297
(2)(2012·天津)设等差数列{an}的前n项和Sn，若S4＝8，S8＝20，则a11＋a12＋a13＋a14＝( ) A．18 C．16
B．17 D．15
[自主解答] (1)由等差数列的性质及a1＋a4＋a7＝39，可得3a4＝39，所以a4＝13.同理，由9?a1＋a9?9?a4＋a6?a3＋a6＋a9＝27，可得a6＝9.所以S9＝＝＝99.
22
(2)设{an}的公差为d，则a5＋a6＋a7＋a8＝S8－S4＝12，(a5＋a6＋a7＋a8)－S4＝16d，解得d1
＝，a11＋a12＋a13＋a14＝S4＋40d＝18. 4[答案] (1)B (2)A
由题悟法
1．等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题． 2．应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．
以题试法
3．(1)设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________. (2)(2012·海淀期末)若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为( ) A．6 C．8
B．7 D．9
解析：(1)设两等差数列组成的和数列为{cn}，
由题意知新数列仍为等差数列且c1＝7，c3＝21，则c5＝2c3－c1＝2×21－7＝35.
(2)∵an＋1－an＝－3，∴数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，∴an＝19＋(n－
???ak≥0，?22－3k≥0，
?1)×(－3)＝22－3n.设前k项和最大，则有即? ?ak＋1≤0，???22－3?k＋1?≤0，
1922
解得≤k≤.∵k∈N*，∴k＝7.故满足条件的n的值为7.
33答案：(1)35 (2)B