1．(2011·江西高考){an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．若S10＝S11，则a1＝( ) A．18 C．22
B．20 D．24
解析：选B 由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20. 2．(2012·广州调研)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝8，S3＝6，则S10－S7的值是( ) A．24 C．60
B．48 D．72
???a5＝a1＋4d＝8，?a1＝0，解析：选B 设等差数列{an}的公差为d，由题意可得?解得?则
?S3＝3a1＋3d＝6，???d＝2，
S10－S7＝a8＋a9＋a10＝3a1＋24d＝48.
3．(2013·东北三校联考)等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·?·2a10)＝( ) A．10 C．40
B．20 D．2＋log25
10?a1＋a10?
＝5(a5＋a6)＝20，因此有2
解析：选B 依题意得，a1＋a2＋a3＋?＋a10＝log2(2a1·2a2·?·2a10)＝a1＋a2＋a3＋?＋a10＝20.
2*4．(2012·海淀期末)已知数列{an}满足：a1＝1，an>0，a2n＋1－an＝1(n∈N)，那么使an<5成
立的n的最大值为( ) A．4 C．24
B．5 D．25
2222解析：选C ∵a2n＋1－an＝1，∴数列{an}是以a1＝1为首项，1为公差的等差数列．∴an＝1
＋(n－1)＝n.又an>0，∴an＝n.∵an<5，∴n<5.即n<25.故n的最大值为24.
5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，并且S10>0，S11<0，若Sn≤Sk对n∈N*恒成立，则正整数k的值为( ) A．5 C．4
B．6 D．7
解析：选A 由S10>0，S11<0知a1>0，d<0，并且a1＋a11<0，即a6<0，又a5＋a6>0，所以a5>0，即数列的前5项都为正数，第5项之后的都为负数，所以S5最大，则k＝5. 6．数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N*)．若b3＝－2，b10＝12，则a8＝( )
A．0 C．8
B．3 D．11
解析：选B 因为{bn}是等差数列，且b3＝－2，b10＝12， 12－?－2?
故公差d＝＝2.于是b1＝－6，
10－3且bn＝2n－8(n∈N*)，即an＋1－an＝2n－8.
所以a8＝a7＋6＝a6＋4＋6＝a5＋2＋4＋6＝?＝a1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3. 7．(2012·广东高考)已知递增的等差数列{an}满足a1＝1，a3＝a22－4，则an＝________.
22解析：设等差数列公差为d，∵由a3＝a22.2－4，得1＋2d＝(1＋d)－4，解得d＝4，即d＝±
由于该数列为递增数列，故d＝2. ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.答案：2n－1
8．已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a7－a5＝4，a11＝21，Sk＝9，则k＝________. 解析：a7－a5＝2d＝4，则d＝2.a1＝a11－10d＝21－20＝1， k?k－1?Sk＝k＋×2＝k2＝9.又k∈N*，故k＝3.答案：3
2
Sn2n－3a99．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有＝，则
Tn4n－3b5＋b7＋
a3的值为________． b8＋b4
解析：∵{an}，{bn}为等差数列， ∴∵
a9a3a9a3a9＋a3a6＋＝＋＝＝. 2b6b6b5＋b7b8＋b42b62b6
S11a1＋a112a62×11－319a61919
＝＝＝＝，∴＝.答案： T11b1＋b112b64×11－341b64141
10．(2011·福建高考)已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d. 由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2. 从而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n. (2)由(1)可知an＝3－2n， n[1＋?3－2n?]所以Sn＝＝2n－n2.
2由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35， 即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5. 又k∈N*，故k＝7.
11．设数列{an}的前n项积为Tn，Tn＝1－an，
?1?
(1)证明?T?是等差数列；
?
n?
?an?
(2)求数列?T?的前n项和Sn.
?
n?
Tn解：(1)证明：由Tn＝1－an得，当n≥2时，Tn＝1－，
Tn－111
两边同除以Tn得－＝1.
TnTn－1∵T1＝1－a1＝a1， 111
故a1＝，＝＝2.
2T1a1
?1?
∴?T?是首项为2，公差为1的等差数列． ?
n?
11
(2)由(1)知＝n＋1，则Tn＝，
Tnn＋1nan从而an＝1－Tn＝.故＝n.
n＋1Tn
?an?
∴数列?T?是首项为1，公差为1的等差数列．
?
n?
n?n＋1?∴Sn＝. 2
12．已知在等差数列{an}中，a1＝31，Sn是它的前n项和，S10＝S22. (1)求Sn；
(2)这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值． 解：(1)∵S10＝a1＋a2＋?＋a10， S22＝a1＋a2＋?＋a22，又S10＝S22， ∴a11＋a12＋?＋a22＝0，
12?a11＋a22?即＝0，故a11＋a22＝2a1＋31d＝0.
2又∵a1＝31，∴d＝－2，
n?n－1?
∴Sn＝na1＋d＝31n－n(n－1)＝32n－n2.
2(2)法一：由(1)知Sn＝32n－n2，
故当n＝16时，Sn有最大值，Sn的最大值是256. 法二：由Sn＝32n－n2＝n(32－n)，欲使Sn有最大值， 应有1 n＋32－n?2 2??＝256， 当且仅当n＝32－n，即n＝16时，Sn有最大值256. 1．等差数列中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则该数列前13项的和是( ) A．156 C．26 B．52 D．13 解析：选C ∵a3＋a5＝2a4，a7＋a10＋a13＝3a10， 13?a1＋a13?13?a4＋a10? ∴6(a4＋a10)＝24，故a4＋a10＝4.∴S13＝＝＝26. 22 2．在等差数列{an}中，a1>0，a10·a11<0，若此数列的前10项和S10＝36，前18项和S18＝12，则数列{|an|}的前18项和T18的值是( ) A．24 C．60 B．48 D．84 解析：选C 由a1>0，a10·a11<0可知d<0，a10>0，a11<0，故T18＝a1＋?＋a10－a11－?－a18＝S10－(S18－S10)＝60. 3．数列{an}满足an＋1＋an＝4n－3(n∈N*)． (1)若{an}是等差数列，求其通项公式； (2)若{an}满足a1＝2，Sn为{an}的前n项和，求S2n＋1. 解：(1)由题意得an＋1＋an＝4n－3，① an＋2＋an＋1＝4n＋1，② ②－①得an＋2－an＝4， ∵{an}是等差数列，设公差为d，∴d＝2. ∵a1＋a2＝1，∴a1＋a1＋d＝1， 1 ∴a1＝－， 25 ∴an＝2n－. 2 (2)∵a1＝2，a1＋a2＝1，∴a2＝－1. 又∵an＋2－an＝4，∴数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差均为4， ∴a2n－1＝4n－2，a2n＝4n－5， S2n＋1＝(a1＋a3＋?＋a2n＋1)＋(a2＋a4＋?＋a2n) ?n＋1?nn?n－1? ＝(n＋1)×2＋×4＋n×(－1)＋×4 22＝4n2＋n＋2. 311 1．已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)． 5an－1an－1 (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由． 解：(1)证明：∵an＝2－ 1 (n≥2，n∈N*)，bn＝. an－1an－11 11 ∴n≥2时，bn－bn－1＝－ an－1an－1－1＝ 11 － ?2－1?－1an－1－1 a ? ＝ n－1 ? an－11 －＝1. an－1－1an－1－1 15 又b1＝＝－. 2a1－1 5 ∴数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列． 27 (2)由(1)知，bn＝n－， 212 则an＝1＋＝1＋， bn2n－7设函数f(x)＝1＋ 2 ， 2x－7 77 －∞，?和?，＋∞?内为减函数． 易知f(x)在区间?2??2?? 故当n＝3时，an取得最小值－1；当n＝4时，an取得最大值3. 2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a2＋a4＝14，S7＝70. (1)求数列{an}的通项公式； 2Sn＋48 (2)设bn＝，数列{bn}的最小项是第几项，并求出该项的值． n ??2a1＋4d＝14， 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则有? ?7a1＋21d＝70，????a1＋2d＝7，?a1＝1， 即?解得? ??a＋3d＝10，d＝3.?1? 所以an＝3n－2. 3n2－nn (2)因为Sn＝[1＋(3n－2)]＝， 223n2－n＋4848 所以bn＝＝3n＋－1≥2 nn48 当且仅当3n＝，即n＝4时取等号， n故数列{bn}的最小项是第4项，该项的值为23. 48 3n·－1＝23， n 3．已知数列{an}，对于任意n≥2，在an－1与an之间插入n个数，构成的新数列{bn}成等差数列，并记在an－1与an之间插入的这n个数均值为Cn－1. n2＋3n－8 (1)若an＝，求C1，C2，C3； 2 (2)在(1)的条件下是否存在常数λ，使{Cn＋1－λCn}是等差数列？如果存在，求出满足条件的λ，如果不存在，请说明理由． 解：(1)由题意a1＝－2，a2＝1，a3＝5，a4＝10， 1∴在a1与a2之间插入－1,0，C1＝－. 2在a2与a3之间插入2,3,4，C2＝3. 15 在a3与a4之间插入6,7,8,9，C3＝. 2 an－an－1 (2)在an－1与an之间插入n个数构成等差数列，d＝＝1， n＋1n?an－1＋an? 2an－1＋ann2＋2n－9 ∴Cn－1＝＝＝. n22假设存在λ使得{Cn＋1－λCn}是等差数列． ∴(Cn＋1－λCn)－(Cn－λCn－1) ＝Cn＋1－Cn－λ(Cn－Cn－1) 2n＋52n＋3 ＝－λ· 22 53 ＝(1－λ)n＋－λ＝常数，∴λ＝1. 22即λ＝1时，{Cn＋1－λCn}是等差数列．