另一方面B1D1⊥AP。从而得证。
（Ⅲ）连接BC1，过点P作PQ⊥BC1于点Q， 则PQ即为点P到平面ABD1的距离。
由勾股定理和相似三角形的判定和性质即可求出PQ，即点P到平面ABD1的距离。 2.（江苏2005年14分）如图，在五棱锥S—ABCDE中，SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2，
BC?DE?3，?BAE??BCD??CDE?120?
⑴求异面直线CD与SB所成的角（用反三角函数值表示）；（4分） ⑵证明：BC⊥平面SAB；（4分）
⑶用反三角函数值表示二面角B—SC—D的大小（本小问不必写出解答过程）（4分）
【答案】解：⑴连接BE，延长BC、ED交于点F，则∠DCF=∠CDF=600，
∴△CDF为正三角形，∴CF=DF。
又∵BC=DE，∴BF=EF。∴△BFE为正三角形。 ∴∠FBE=∠FCD=600。∴BE//CD。
∴∠SBE（或其补角）就是异面直线CD与SB所成的角。 ∵SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2， ∴SB=22。同理SE=22。
又∵∠BAE=1200，∴BE=23。∴cos∠SBE=
66。∴∠SBE=arccos。 44∴异面直线CD与SB所成的角是arccos
6。 4⑵由题意，△ABE为等腰三角形，∠BAE=1200，∴∠ABE=300。 又∠FBE =600，∴∠ABC=900。∴BC⊥BA。
∵SA⊥底面ABCDE，BC?底面ABCDE，∴SA⊥BC，又SA?BA=A。∴BC⊥平
面SAB。
⑶二面角B-SC-D的大小??arccos【考点】空间中直线与平面之间的位置关系
【分析】（1）连接BE，延长BC、ED交于点F，根据线面所成角的定义可知∠SBE（或其补角）就是异面直线CD与SB所成的角，然后在三角形SBE中求出此角即可。
6
782。 82
（2）欲证BC⊥平面SAB，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面SAB
内两相交直线垂直，而BC⊥BA，SA⊥BC，又SA∩BA=A，满足定理所需条件。
（3）二面角，可利用空间向量法求解更方便。
3.（江苏2006年14分）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF沿EF折起到?A1EF的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2） （Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；（4分）
（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；（5分）
（Ⅲ）求二面角B－A1P－F的大小（用反三角函数表示）（5分）
BAEFEA1FBP图1 C图2 PC【答案】解：不妨设正三角形ABC的边长为3。
（Ⅰ）证：在图1中，取BE中点D，连结DF， 则AE：EB=CF：FA=1：2。∴AF=AD=2。 而∠A=600 ，∴△ADF是正三角形。 又AE=DE=1，∴EF⊥AD。 在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF,
∴∠A1EB为二面角A1－EF－B的平面角。 由题设条件知此二面角为直二面角，A1E⊥BE， 又BE?EF?E，∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP。 （Ⅱ）在图2中，A1E不垂直A1B，∴A1E是平面A1BP的垂线。 又A1E⊥平面BEP，∴A1E⊥BE。
从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）。 设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q，且A1Q交BP于点Q。 则∠E1AQ就是A1E与平面A1BP所成的角，且BP⊥A1Q。
7
在△EBP中，BE=EP=2而∠EBP=600 ，∴△EBP是等边三角形。 又 A1E⊥平面BEP ，∴A1B=A1P,，∴Q为BP的中点，且EQ?3。 又A1E=1，在Rt△A1EQ中，tan?EA1Q?EQ?3，∴∠EA1Q=60o。 A1E∴直线A1E与平面A1BP所成的角为600。
（Ⅲ）在图3中，过F作FM⊥ A1P于M，连结QM，QF。 ∵CP=CF=1，∠C=600,∴△FCP是正三角形。∴PF=1。 有PQ?1BP?1，∴PF=PQ①。 2∵A1E⊥平面BEP， EO?EF?3，∴A1E=A1Q。∴△A1FP≌△A1QP ∴∠A1PF=∠A1PQ②。
由①②及MP为公共边知△FMP≌△QMP，∴∠QMP=∠FMP=90o，且MF=MQ。 ∴∠FMQ为二面角B－A1P－F的平面角。 在Rt△A1QP中,A1Q=A1F=2，PQ=1，∴A1P?5。 又∵ MQ⊥A1P，∴MQ?A1Q?PQ2525。∴MF?。 ?A1P55在△FCQ中，FC=1，QC=2，∠C=600，由余弦定理得QF?3。
7MF2?MQ2?QF2??。 在△FMQ中，cos?FMQ?2MF?MQ87 ∴二面角B－A1P－F的大小为??arccos。
8【考点】直线与平面垂直的判定，异面直线及其所成的角，与二面角有关的立体几何综合题。 【分析】本题主要考查线面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识，以及空间线面位置关系的证明、角和距离的计算等，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力。 4.（江苏2007年12分）如图，已知ABCD?A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE?FC1?1， （1）求证：E，B，F, D1四点共面；（4分）
D1A1B1
C1 F
2（2）若点G在BC上，BG?，点M在BB1上，GM?BF，垂足为H，求
3
8
D M
EA H G C
B
证：EM?面BCC1B1；（4分）
（3）用?表示截面EBFD1和面BCC1B1所成锐二面角大小，求tan?。（4分） 【答案】解：（1）证明：在DD1上取一点N使得DN=1，连接CN，EN，显然四边形CFD1N是平行四边形，∴D1F//CN。
同理四边形DNEA是平行四边形，∴EN//AD，且EN=AD。 又BC//AD，且AD=BC，∴EN//BC，EN=BC，∴四边形CNEB是平
行四边形。
∴CN//BE。∴D1F//BE。∴E，B，F, D1四点共面。
2MBBGMB3（2）∵GM?BF，∴?BCF∽?MBG。∴，即∴MB=1。 ??。
BCCF32∵AE=1，∴四边形ABME是矩形。∴EM⊥BB1。
又∵平面ABB1A1⊥平面BCC1B1，且EM在平面ABB1A1内，∴EM?面
BCC1B1。
（3）∵EM?面BCC1B1，∴EM?BF，EM?MH，GM?BF。 ∴∠MHE就是截面EBFD1和面BCC1B1所成锐二面角的平面角。 ∵∠EMH=90?，∴tan??1。
又∵BF=22?32?13，∴MH=ME，ME=AB=3，?BCF∽?MHB。∴3：MH=BF：MH313。∴tan??ME=13。 MH【考点】平面的基本性质及推论，直线与平面垂直的判定，与二面角有关的立体几何综合题。 【分析】（1）四点共面问题通常我们将它们变成两条直线，然后证明这两条直线平行或相交，根据公理3的推论2、3可知它们共面。
（2）求出MB的长度。在正方体中，易知AB⊥面BCC1B1，所以欲证EM⊥面BCC1B1，
可以先证AB∥EM；或者也可以从平面ABB1A1⊥平面BCC1B1入手去证明。
（3）由第二问的证明可知，利用三垂线定理，∠MHE就是截面EBFD1和面BCC1B1
所成锐二面角的平面角。
6.（江苏2008年14分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，
9
BD的中点．
求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC∥面BCD． 【答案】证： （1）∵E，F分别是AB，BD的中点．
∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD。
∵EF∥?面ACD，AD?面ACD，∴直线EF∥面ACD。 （2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD。 ∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD。 又EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC。 ∵BD?面BCD，∴面EFC∥面BCD。
【考点】直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定。
【分析】（1）根据线面平行关系的判定定理，在面ACD内找一条直线和直线EF平行即可，根据中位线可知EF∥AD，又EF?面ACD，AD?面ACD，满足定理条件。
（2）需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直，
根据线面垂直的判定定理可知BD⊥面EFC，而BD?面BCD，满足定理所需条件。 8．（江苏2009年14分）如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，E，F分别是A1B、
D
C
A F B E A1C的中点，点D在B1C1上，A1D?B1C求证：（1）EF∥平面ABC； （2）平面A1FD?平面BB1C1C.
。
【答案】证明：（1）∵E，F分别是A1B，A1C的中点，∴EF∥BC。
又∵EF?面ABC，BC?面ABC，∴EF∥平面ABC。
（2）∵直三棱柱ABC?A1B1C1，∴BB1⊥面A1B1C1。∴BB1⊥A1D。 又∵A1D⊥B1C，∴A1D⊥面BB1C1C。
又∵A1D?面A1FD，∴平面A1FD⊥平面BB1C1。
【考点】直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定。 【分析】（1）要证明EF∥平面ABC，证明EF∥BC即可。
（2）证明平面A1FD?平面BB1C1C，证明A1D⊥面BB1C1C即可。
10.（江苏2010年14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。
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