即
[a1?(n?1)d]?[a1?nd]1?a1?(n?)d?n??3分
22?d?11?a???5分，解得，d?1??6分 ?d12a1??0?2?（方法二）由an与an?1的等差中项为n得，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2??3分
d?a1?a2?a??11?1?22a???5分，解得，d?1??6分 ?1a?a23d3?2?a??21?2?21⑵由⑴得an?n?，bn?2n?an?n?2n?2n?1??7分
2（方法一）记Tn?1?2?2?22?3?23???(n?1)?2n?1?n?2n，则
2Tn?1?22?2?23?3?24???(n?1)?2n?n?2n?1??8分
两式相减得，Tn??2?22?23???2n?n?2n?1??10分
?n?2n?1?2n?1?2??11分
数列2n?1的前n项和1?2?2???2??2n?1?2n?1??12分
∴Sn?(n?2n?1?2n?1?2)?(2n?1)?n?2n?1?3?2n?3??13分 （方法二）
Sn?(1?2?20)?(2?22?21)?(3?23?22)???[(n?1)?2n?1?2n?2]?(n?2n?2n?1)2Sn?(1?22?21)?(2?23?22)?(3?24?23)???[(n?1)?2n?2n?1]?(n?2n?1?2n)??9分，两式相减得
Sn??(1?2?20)?(1?22?1?23???1?2n)?(n?2n?1?2n)??11分
?n?2n?1?3?2n?3??13分
⒛⑴设M(x , y)是曲线C上任意一点，则D(x , 0)??1分，
33(0 , y0)??2分 DA得(0 , y)?22232232y)?4??4分 y0?y??3分，依题意，x2?y0?4，x2?(33x2y2??1??5分 曲线C的标准方程为43⑵由⑴得c?1，F1(?1 , 0)，F2(1 , 0)??6分
对应圆上的点为A(x , y0)，由DM?333x2y2??1得y??，即P(1 , )，Q(1 , ?)??7分 ①若m为直线x?1，代入
2224325222直接计算知|PQ|?9，|F1P|?|F1Q|?，|PQ|2?|F1P|2?|F1Q|2，x?1不
2符合题意??8分
②若直线m的斜率为k，直线m的方程为y?k(x?1)
?x2y2?1??由?4得(3?4k2)x2?8k2x?(4k2?12)?0??9分 3?y?k(x?1)?8k24k2?12设P(x1 , y1)，Q(x2 , y2)，则x1?x2?，x1?x2???10分 223?4k3?4k由|PQ|2?|F1P|2?|F1Q|2得，F1P?F1Q?0??11分
即(x1?1)(x2?1)?y1y2?0，(x1?1)(x2?1)?k(x1?1)?k(x2?1)?0
(1?k2)x1x2?(1?k2)(x1?x2)?(1?k2)?0??12分
4k2?128k222?1)?(1?k)??07k?9?0??13分 代入得(1?k)(，即223?4k3?4k2解得k??3737，直线m的方程为y??(x?1)??14分 7721．⑴?x?R，f/(x)?3x2?2ax??1分，f/(1)?3?2a，f(1)?5?a
切线方程为y?(5?a)?(3?2a)(x?1)??2分
切线在y轴上的截距(5?a)?(3?2a)?5??3分，解得a??3??4分 ⑵由⑴得f(x)?x3?3x2?4，解f/(x)?3x2?6x?0得x?0，x?2??5分
x f/(x)
f(x)
??7分
(?? , 0)
+ ↗
0
0 极大值
(0 , 2)
－ ↘
2
0 极小值
(2 , ??)
+ ↗
记g(x)?f(x)?kx?x3?3x2?kx?4，则直线y?kx与曲线y?f(x)的公共点的
个数即为函数g(x)?x3?3x2?kx?4零点的个数
①k?0时， g(0)?4，g(?1)?k，g(0)g(?1)?4k?0，g(x)在(?1 , 0)至少有一个零点??9分，
∵g(x)?f(x)?kx在(?? , 0)单调递增，∴g(x)在(?? , 0)上有且仅有一个零点??10分
x?[0 , ??)时，f(x)?f(2)?0（等号当且仅当x?2时成立）??11分，从而g(x)?f(x)?kx?0，g(x)在[0 , ??)上没有零点??12分
②k?0时，g(x)?f(x)，由①讨论知，g(x)（即f(x)）有两个零点。
综上所述，k?0时，直线y?kx与曲线y?f(x)有1个公共点，k?0时，直线
y?kx与曲线y?f(x)有两个公共点??14分