1998 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1) limx?01?x?1?x?2? . x21?2z(2) 设z?f(xy)?y?(x?y),f,?具有二阶连续导数,则? .
x?x?yx2y222(2xy?3x?4y)ds? . ??1,其周长记为a,则?(3) 设L为椭圆?L43(4) 设A为n阶矩阵,A?0,A为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.若A有特征值?,
则(A*)2?E必有特征值 . (5) 设平面区域D由曲线y?*
12及直线y?0,x?1,x?e所围成,二维随机变量(X,Y)在x区域D上服从均匀分布,则(X,Y)关于X的边缘概率密度在x?2处的值为 _ .
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.) (1) 设f(x)连续,则
2dx22tf(x?t)dt? ( ) ?0dx222(A) xf(x) (B) ?xf(x) (C) 2xf(x) (D) ?2xf(x)
23(2) 函数f(x)?(x?x?2)x?x不可导点的个数是 ( )
(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 (3) 已知函数y?y(x)在任意点x处的增量?y?y?x??,且当?x?0时,?是?x的高21?x阶无穷小,y(0)??,则y(1)等于 ( ) (A) 2? (B) ? (C) e (D) ?e4
?4??a1?(4) 设矩阵a2???a3b1b2b3c1?x?a3y?b3z?c3c2?是满秩的,则直线与直线 ???a1?a2b1?b2c1?c2c3??x?a1y?b1z?c1?? ( )
a2?a3b2?b3c2?c3(A) 相交于一点 (B) 重合
1
(C) 平行但不重合 (D) 异面
(5) 设A、B是两个随机事件,且0?P(A)?1,P(B)?0,P(B|A)?P(B|A),则必有( )
(A) P(A|B)?P(A|B) (B) P(A|B)?P(A|B) (C) P(AB)?P(A)P(B) (D) P(AB)?P(A)P(B)
三、(本题满分5分)
求直线L:x?1yz?1??在平面?:x?y?2z?1?0上的投影直线L0的方程,并求11?1L0绕y轴旋转一周所成曲面的方程.
四、(本题满分6分)
确定常数?,使在右半平面x?0上的向量A(x,y)?2xy(x4?y2)?i?x2(x4?y2)?j为某二元函数u(x,y)的梯度,并求u(x,y).
五、(本题满分6分)
从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m,体积为B,海水比重为?,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为k(k?0).试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式y=y?v?.
六、(本题满分7分)
计算
???axdydz?(z?a)2dxdy(x2?y2?z2)12,其中?为下半球面z??a2?x2?y2的上侧,a为大
于零的常数.
七、(本题满分6分)
?2???sinsin?sin??nn求lim????????. n??11n?1?n?n??2n??
八、(本题满分5分)
2
设正项数列?an?单调减少,且明理由.
九、(本题满分6分)
设y?f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.
(1) 试证存在x0?(0,1),使得在区间?0,x0?上以f(x0)为高的矩形面积,等于在区间?x0,1?上以y?f(x)为曲边的梯形面积. (2) 又设f(x)在区间(0,1)内可导,且f?(x)??
十、(本题满分6分)
已知二次曲面方程x2?ay2?z2?2bxy?2xz?2yz?4,可以经过正交变换
?(?1)an发散,试问级数?(nn?1??n?11n)是否收敛？并说an?12f(x),证明(1)中的x0是唯一的. x?x?????y??P??? ???????z??????化为椭圆柱面方程?2?4?2?4,求a,b的值和正交矩阵P.
十一、(本题满分4分)
设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组Ax?0有解向量?,且A??0, 证明：向量组?,A?,?,A
十二、(本题满分5分)
已知线性方程组
k?1kk?1?是线性无关的.
?a11x1?a12x2?????a1,2nx2n?0,??a21x1?a22x2?????a2,2nx2n?0, (I)???????????????????????????????????????an1x1?an2x2?????an,2nx2n?0?的一个基础解系为(b11,b12,???,b1,2n),(b21,b22,???,b2,2n),???,(bn1,bn2,???,bn,2n),试写出线性方程组
TTT 3
?b11y1?b12y2?????b1,2ny2n?0,??b21y1?b22y2?????b2,2ny2n?0, (II)???????????????????????????????????????bn1y1?bn2y2?????bn,2ny2n?0?的通解,并说明理由.
十三、(本题满分6分)
设两个随机变量X,Y相互独立,且都服从均值为0、方差为
1的正态分布,求随机变量2X?Y的方差.
十四、(本题满分4分)
从正态总体N(3.4,62)中抽取容量为n的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多大？ 附表：标准正态分布表?(z)??z??1edt 2??t22z
?(z)
1.28 0.900
1.645 0.950
1.96 0.975
2.33 0.990
十五、(本题满分4分)
设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程. 附表：t分布表
P{t(n)?tp(n)}?p
p 0.95 0.975 tp(n) n 35 36
1.6896 1.6883 2.0301 2.0281 4
1998年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】?1 4【解析】方法1：用四则运算将分子化简,再用等价无穷小替换,
?原式?limx?01?x?1?x?2x2???1?x?1?x?21?x?1?x?2??
??limx?01?x?1?xx2??2?41?x?1?x?2??limx?02?1?x2?14x2?
1?x211?1?x2?1??x2?lim22??.
x?02x24方法2：采用洛必达法则.
?原式?洛?limx?011?1?x?1?x?2?lim21?x21?x x?02xx2??????11?1?x?1?x1?x?1?x?洛?lim21?x21?x ?lim?limx?0x?0x?044x4x1?x21???1lim???x?021?x121?x?????.
44方法3：将分子按佩亚诺余项泰勒公式展开至x项,
211111?x?1?x?x2?o1?x2?,1?x?1?x?x2?o2?x2?,
282811111?x?x2?o1?x2??1?x?x2?o2?x2??22828从而 原式?lim 2x?0x1?x2?o1?x2??o2?x2?1??. ?lim42x?04x(2)【答案】yf??(xy)???(x?y)?y???(x?y)
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