?a1?a?2??a3b1b2b3c1?c2??是满秩的,则由行列式的性质,可知 c3??a1a2a3b1b2b3c1c3a1?a2a3b1?b2b2?b3b3c1?c2c2?c3?0, c3c21行减2行，2行减3行a2?a3故向量组(a1?a2,b1?b2,c1?c2)与(a2?a3,b2?b3,c2?c3)线性无关,否则由线性相关的定义知,一定存在k1,k2,使得k1(a1?a2,b1?b2,c1?c2)?k2(a2?a3,b2?b3,c2?c3)?0,这样上面行列式经过初等行变换值应为零,产生矛盾.
(a1?a2,b1?b2,c1?c2)与(a2?a3,b2?b3,c2?c3)分别为L1,L2的方向向量,由方向向
量线性相关,两直线平行,可知L1,L2不平行.
又由
x?a3y?b3z?c3得 ??a1?a2b1?b2c1?c2x?a3y?b3z?c3?1??1??1,
a1?a2b1?b2c1?c2即
x?a3??a1?a2?y?b3??b1?b2?z?c3??c1?c2?. ??a1?a2b1?b2c1?c2同样由
x?a1y?b1z?c1,得 ??a2?a3b2?b3c2?c3x?a1y?b1z?c1?1??1??1,
a2?a3b2?b3c2?c3x?a1??a2?a3?y?b3??b2?b3?z?c3??c2?c3?即 , ??a2?a3b2?b3c2?c3可见L1,L2均过点?a2?a1?a3,b2?b1?b3,c2?c1?c3?,故两直线相交于一点,选(A). (5)【答案】C
【分析】由题设条件P(B|A)?P(B|A),知A发生与A不发生条件下B发生的条件概率相等,即A发生不发生不影响B的发生概率,故A,B相互独立.而本题选项(A)和(B)是考虑P(A|B)与P(A|B)是否相等,选项(C)和(D)才是事件A与B是否独立.
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【解析】由条件概率公式及条件P(B|A)?P(B|A),知
P?AB?PABP?B??P?AB?, ??P?A?1?P?A?PA于是有 P?AB???1?P?A????P?A????P?B??P?AB???, 可见 P?AB??P?A?P?B?. 应选(C).
【相关知识点】条件概率公式：P?B|A??
三、(本题满分5分)
【解析】方法1：求直线L在平面?上的投影L0：
????P?AB?.
P?A??x?1?t,?方法1：先求L与?的交点N1.以L:?y?t,代入平面?的方程,得
?z?1?t?(1?t)?t?2(1?t)?1?0?t?1.
从而交点为N1(2,1,0)；再过直线L上点M0(1,0,1)作平面?的垂线L?:x?1yz?1??,1?12?x?1?t,?即?y??t, ?z?1?2t.?并求L?与平面?的交点N2：
1(1?t)?(?t)?2(1?2t)?1?0?t??,
3211交点为N2(,,).
333N1与N2的连接线即为所求L0:x?2y?1z??. 42?1方法2：求L在平面?上的投影线的最简方法是过L作垂直于平面?的平面?0,所求投影线就是平面?与?0的交线.平面?0过直线L上的点(1,0,1)与不共线的向量l?(1,1,?1) (直线L的方向向量)及n?(1,?1,2)(平面?的法向量)平行,于是?0的方程是
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x?1yz?111?1?0,即x?3y?2z?1?0. 1?12?x?y?2z?1?0,投影线为 L0:?
x?3y?2z?1?0.?下面求L0绕y轴旋转一周所成的旋转曲面S的方程.为此,将L0写成参数y的方程：
?x?2y,? ?1z??(y?1).??2按参数式表示的旋转面方程得S的参数方程为
?122?x?(2y)?((1?y))cos?,2?? ?y?y,??z?(2y)2?(1(1?y))2sin?.?2??1?消去?得S的方程为x2?z2??2y????(y?1)?,即4x2?17y2?4z2?2y?1?0.
?2?22
四、(本题满分6分)
【解析】令P(x,y)?2xy(x4?y2)?,Q(x,y)??x(x?y),则A(x,y)?(P(x,y),Q(x,y))在单联通区域右半平面x?0上为某二元函数u(x,y)的梯度?Pdx?Qdy在x?0上?原函数u(x,y)?242??Q?P?,x?0. ?x?y其中,
?Q??2x(x4?y2)???x2(x4?y2)??1?4x3, ?x?P?2x(x4?y2)??2?xy(x4?y2)??1?2y. ?y由
?Q?P?,即满足 ?x?y?2x(x4?y2)???x2(x4?y2)??1?4x3?2x(x4?y2)??2?xy(x4?y2)??1?2y,
?4x(x4?y2)?(??1)?0????1.
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可见,当???1时,所给向量场为某二元函数的梯度场.
为求u(x,y),采用折线法,在x?0半平面内任取一点,比如点(1,0)作为积分路径的起点,则根据积分与路径无关,有
u(x,y)?? ?(x,y)(1,0)2xydx?x2dy?C 42x?y??x1y2x?0?x2dx??4dy?C(折线法)
0x?y2x4?0 ?y0?x2dy?C 42x?y ??y?x2?y?x4(1??2?)?x?y20dy?C(第一类换元法)
???0y1?y??y?d?C??d?2??2??C 22?0x???x??y??y?4x(1??2?)(1??2?)x???x?x2?x2 ??arctan 其中C为任意常数.
y?C(基本积分公式) 2x?u?ui+j. ?x?y【相关知识点】1.二元可微函数u(x,y)的梯度公式：gradu?2.定理：设D为平面上的单连通区域,函数P(x,y)与Q(x,y)在D内连续且有连续的一阶偏导数,则下列六个命题等价：
(1)
?Q?P?,(x,y)?D； ?x?y(2) (3)
??Pdx?Qdy?0,L为D内任意一条逐项光滑的封闭曲线；
LLAB?Pdx?Qdy仅与点A,B有关,与连接A,B什么样的分段光滑曲线无关；
(4) 存在二元单值可微函数u(x,y),使
du?Pdx?Qdy
(即Pdx?Qdy为某二元单值可微函数u(x,y)的全微分； (5) 微分方程Pdx?Qdy?0为全微分方程；
(6) 向量场Pi+Qj为某二元函数u(x,y)的梯度gradu?Pi+Qj.
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换言之,其中任一组条件成立时,其它五组条件皆成立.当条件成立时,可用试图法或折线法求函数u(x,y).
五、(本题满分6分)
【解析】先建立坐标系,取沉放点为原点O,铅直向下作为Oy轴正向,探测器在下沉过程中受重力、浮力和阻力的作用,其中重力大小：mg,浮力的大小：F浮???B；阻力：?kv,则由牛顿第二定律得
d2ym2?mg?B?g?kv,ydtt?0?0,vt?0?0. (*)
dyd2ydvdvdydvdy由,代入(*)得y与v之间的微分方程 ?v,2????v?vdvdtdtdtdydtdy?dy?mv???mg?B??kv,?dv?分离变量得 dy??1vy?0?0.
mvdv,
mg?B??kvmv?mg?B??kvdv,
两边积分得 dy??Bm?m2gBm?m2gmv????kkkkdvy??mg?B??kvmBm?m2g?(mg?B??kv)??kkkdv??mg?B??kv?mg?Bm???m?k??????dv?kmg?B??kv?????mm(mg?B?)???dv??dvkk(mg?B??kv)2
1m(mg?B?)?(?)mkd(mg?B??kv) (第一类换元法) ??v??kk(mg?B??kv) ??mm(mg?B?)v?ln(mg?B??kv)?C. 2kk
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