【分析】因为z?1f(xy)?y?(x?y),f,?具有二阶连续导数,利用混合偏导数在连续x?z?z或均可,但不同的选择可能影响计算的繁简. ?x?y的条件下与求导次序无关,先求
方法1：先求
?z. ?x?z??11y???f(xy)?y?(x?y)???2f(xy)?f?(xy)?y??(x?y), ?x?x?xxx??2z??1y????2f(xy)?f?(xy)?y??(x?y)??x?y?y?xx?11y??2f?(xy)x?f?(xy)?f??(xy)x???(x?y)?y???(x?y) xxx11??f?(xy)?f?(xy)?yf??(xy)???(x?y)?y???(x?y)xx?yf??(xy)???(x?y)?y???(x?y).方法2：先求
?z. ?y?z??1?1??f(xy)?y?(x?y)??f?(xy)x??(x?y)?y??(x?y) ?y?y?x?x?f?(xy)??(x?y)?y??(x?y),?2z?2z????f?(xy)??(x?y)?y??(x?y)? ?x?y?y?x?x?yf??(xy)???(x?y)?y???(x?y).方法3：对两项分别采取不同的顺序更简单些：
?2z????1?????????f(xy)?????y?(x?y)???x?y?x??y?x???y??x???1????f?(xy)x???y??(x?y)? ?x?x??y????f?(xy)???y??(x?y)??x?y?yf??(xy)???(x?y)?y???(x?y).评注：本题中,f,?中的中间变量均为一元,因此本题实质上是一元复合函数的求导,只要注意到对x求导时,y视为常数；对y求导时,x视为常数就可以了. (3)【答案】12a
【解析】L关于x轴(y轴)对称,2xy关于y(关于x)为奇函数?
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?2xyds?0.
L
又在L上,
x2y2??1?3x2?4y2?12??(3x2?4y2)ds??12ds?12a.
LL43因此, 原式??2xyds??(3xLL2?4y2)ds?12a.
【相关知识点】对称性：平面第一型曲线积分
?f?x,y?ds,设f?x,y?在l上连续,如果l关
l于y轴对称,l1为l上x?0的部分,则有结论：
?l?2f?x,y?ds,??f?x,y?关于x为偶函数,??f?x,y?ds??l1 ??????????????????????f?x,y?关于x为奇函数.??0，类似地,如果l关于x轴对称,l2为l上y?0的部分,则有结论：
?l?2f?x,y?ds,??f?x,y?关于y为偶函数,??f?x,y?ds??l2 ??????????????????????f?x,y?关于y为奇函数.??0，2?A?(4)【答案】 ???1
???【解析】方法1：设A的对应于特征值?的特征向量为?,由特征向量的定义有
A????,(??0).
?
由A?0,知??0(如果0是A的特征值?A?0),将上式两端左乘A,得
A?A??A??A?????A??,
从而有 A???
*A??,(即A?的特征值为
A?).
将此式两端左乘A,得
?A?又E???,所以
*2?A?*??A?????.
????*22??A?2??A??E??????1??,故(A*)2?E的特征值为???1.
??????????A2??A???1方法2：由A?0,A的特征值??0(如果0是A的特征值?A?0),则A有特征值
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?A??
,A的特征值为；(A*)2?E的特征值为???1. ?????【相关知识点】1.矩阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵,若存在数?及非零的n维列向量X使得AX??X成立,则称?是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特1A2征向量.
?1?1由?为A的特征值可知,存在非零向量?使A????,两端左乘A,得???A?.
?1因为??0,故??0,于是有A??1??.按特征值定义知
1?是A的特征值.
?1若AX??X,则(A?kE)X?AX?kX?(??k)X.即若?是A的特征值,则
A?kE的特征值是??k.
2.矩阵A可逆的充要条件是A?0,且A?1?1?A. Ay(5)【答案】
1 4【解析】首先求(X,Y)的联合概率密度f(x,y).
y? 1x1(2,)2 1??D??(x,y)|1?x?e2,0?y??,
x??区域D的面积为SD??e211e2dx?lnx1?2. x?1(x,y)?D,?, f(x,y)??2??0, 其他.其次求关于X的边缘概率密度. 当x?1或x?e时,fX(x)?0； 当1?x?e时,fX(x)?故fX(2)?2O 1 2 e2x2?????f(x,y)dy??1x011dy?. 22x1. 4
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.) (1)【答案】(A)
【解析】为变限所定义的函数求导数,作积分变量代换u?x?t,
22t:0?x?u:x2?0,du?d?x2?t2???2tdt?dt??1du, 2t 8
0?1?2222tf(x?t)dtu?x?ttf(u)???dt?0?x2?2t?
2011x??2?f(u)du??f(u)du,x220xdx1dx222tf(x?t)dt?f(u)dudx?02dx?0
11?f(x2)??x2???f(x2)?2x?xf(x2),22选(A).
【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若F(t)?可导,则F?(t)???(t)?f?(t)(t)??f(x)dx,?(t),?(t)均一阶
??(t)????(t)?f??(t)?.
(2)【答案】(B)
【解析】当函数中出现绝对值号时,就有可能出现不可导的“尖点”,因为这时的函数是
22分段函数.f(x)?(x?x?2)xx?1,当x?0,?1时f(x)可导,因而只需在x?0,?1处
考察f(x)是否可导.在这些点我们分别考察其左、右导数.
?(x2?x?2)x(1?x2),?22?(x?x?2)x(x?1),由 f(x)??22?(x?x?2)x(1?x),22?(x?x?2)x(x?1),?x??1,?1?x?0,0?x?1,1?x, f?x??f??1?(x2?x?2)x(1?x2)?0?lim??0, ? f??(?1)?lim?x??1x??1x?1x?1f?x??f??1?(x2?x?2)x(1?x2)?0f??(?1)?lim??lim??0,
x??1x??1x?1x?1即f(x)在x??1处可导.又
f?x??f?0?(x2?x?2)x(x2?1)?0f??(0)?lim?lim?2,
x?0?x?0?xxf?x??f?0?(x2?x?2)x(1?x2)?0f??(0)?lim?lim??2, ?x?0?x?0xx所以f(x)在x?0处不可导.
类似,函数f(x)在x?1处亦不可导.因此f(x)只有2个不可导点,故应选(B).
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评注：本题也可利用下列结论进行判断：
设函数f(x)?x?a?(x),其中?(x)在x?a处连续,则f(x)在x?a处可导的充要条件是?(a)?0. (3)【答案】(D) 【解析】由?y?y?x?yy???,??. 有1?x2?x1?x2?x令?x?0,得?是?x的高阶无穷小,则lim??x?x?0?0,
?yyy????y??lim?lim?lim????x?01?x2?x?0?x1?x2 ?x?0?x?x?01?x2?x??lim即
dyy?. dx1?x2分离变量,得
dydx?, y1?x2两边积分,得 lny?arctanx?C,即y?C1earctanx. 代入初始条件y(0)??,得y?0??C1e故 y(1)??earctanxarctan0?C1??.所以,y??earctanx.
???ex?1arctan1??e4.
【相关知识点】无穷小的比较：
设在同一个极限过程中,?(x),?(x)为无穷小且存在极限 lim(1) 若l?0,称?(x),?(x)在该极限过程中为同阶无穷小；
(2) 若l?1,称?(x),?(x)在该极限过程中为等价无穷小,记为?(x)??(x)； (3) 若l?0,称在该极限过程中?(x)是?(x)的高阶无穷小,记为?(x)?o??(x)?. 若lim?(x)?l, ?(x)?(x)不存在(不为?),称?(x),?(x)不可比较. ?(x)(4)【答案】(A) 【解析】设L1:x?a3y?b3z?c3x?a1y?b1z?c1????,L2:,题设矩阵
a1?a2b1?b2c1?c2a2?a3b2?b3c2?c3 10