北京大学2005 数学专业研究生 高等代数与解析几何 1． 在直角坐标系中，求直线l:?迹的方程。 其中B是常数 解：可以验证点??1?5,0,2?2??1?l,,0,?????，从而l?? 5?55???2x?y?z?0?x?y?2z?1到平面?:3x?By?z?0的正交投影轨
?x??1?3k?把l写成参数方程：?y?2?5k，任取其上一点P:(?1?3k,2?5k,k)，设该点
?z?k?到?上的投影为点P':(x,y,z)
PP???'x?1?3k3?z?k1?x?3z?1?0
P???3x?By?z?0
?x?3z?1?0l整理即知，到?上的正交投影轨迹满足方程?
3x?By?z?0?31立，因此l到?上的正交投影轨迹是一条直线
由于
1?1，上述方程表示一条直线，而2*3?B?1?0和3?B?2?0不同时成
?x?3z?1?0从而l到?上的正交投影轨迹的方程就是?
3x?By?z?0?
2． 在直角坐标系中对于参数?的不同取值，判断下面平面二次曲线的形状：
x?y?2?xy???0.
22对于中心型曲线，写出对称中心的坐标； 对于线心型曲线，写出对称直线的方程。
解：
1?1,?22记T??1?1,??2?2???x*??x?'?，容易验证TT?E，因此直角坐标变换???T??是一个
*???y??y????
正交变换
在这个变换下，曲线方程变为(1??)x*2?(1??)y*2???
1) ???1时，1???0,1???0,???0，曲线为双曲线，是中心型曲线，对称
点为(0,0) 2)
???1时，曲线方程为y*?212，是一对平行直线，是线心型曲线，对称直线
为y*?0，即y?x 3)
?1???0时，1???0,1???0,???0，曲线为椭圆，是中心型曲线，对
称点为(0,0) 4) 5)
??0时，曲线方程为x*?y*?0，是一个点，是中心型曲线，对称点为(0,0)
0???1时，1???0,1???0,???0，曲线为虚椭圆，是中心型曲线，对
22称点为(0,0) 6)
???1时，曲线方程为x*??212，是一对虚平行直线，是线心型曲线，对称
直线为x*?0，即y??x 7)
??1时，1???0,1???0,???0，曲线为双曲线，是中心型曲线，对称
点为(0,0)
3． 设数域K上的n级矩阵A的(i,j)元为ai?bj
（1）.求A;
(2).当n?2时，a1?a2,b1?b2.求齐次线性方程组AX?0的解空间的维数和一个基。 解：
(1)
若n?1，|A|?a1?b1 若n?2，|A|?a1?b1a1?b2a2?b1a2?b2?(a2?a1)(b2?b1)
a1?b1a2?b1a1?b2a2?b2?an?1?b2an?b2a1?b2a2?b2?an?1?an?2an?an?1a1?b3a2?b3??an?b3a1?b3a2?b3??an?an?1?????a1?bna2?bn?an?1?bnan?bna1?bna2?bn?an?1?an?2an?an?1?0
若n?2，|A|??an?1?b1an?b1
a1?b1Rn?Rn?1Rn?1?Rn?2?????a2?b1?an?1?an?2an?an?1?
(2)n?2，则|A|?a1?b1a1?b2a2?b1a2?b2?(a2?a1)(b2?b1)?0，方程组AX?0只有零解，
其解空间维数为0
若n??3，则由(1)知道A的任意一个3级子式的行列式为0，而A的一个2级子
a1?b2??的行列式为(a2?a1)(b2?b1)?0，从而rankA?2
a2?b2??a1?b1式??a2?b1
?n?2，其中于是方程组AX?0解空间的维数是n?2，取向量组?1,?2,...,?b2?bn?i?ci1??b?b,j?12???1ci2???b1?bn?i,j?2，i?1,2,...,n?2 ?i????，cij??b?b1???2????1,j?n?i?c???in??0,其他
,可知[?1,?2,...?n?2?C??]??，其中En?2是n?2阶单位矩阵，C是一个?En?2?rank(?1,?2,...,?n?2)?n?2 2*n(?2的矩阵，从而)
n 并且对b2?bn?ib1?b2任b?bn?1ib2?b1意的b?bn?ib1?b2i?1,n?2，有
?k?1(ai?bk)cik?ai(??1)?(b1b?bn?i?b22?bn?i)?01
b2?b1
因此?1,?2,...,?n?2都属于方程组AX?0解空间，从而是方程组AX?0解空间的
一组基
4．（1）设数域K上n级矩阵，对任意正整数m，求Cm
[C是什么？]
（2）用Mn(K)表示数域K上所有n级矩阵组成的集合，它对于矩阵的加法和数量乘法
a1a2a3?an成为K上的线性空间。数域K上n级矩阵A?ana1a2?an?1?????称为循环矩阵。
a2a3a4?a1用U表示K上所有n级循环矩阵组成的集合。
证明：U是Mn(K)的一个子空间，并求U的一个基和维数。 证：
a1a2a?3an 对任意的A?ana1a2?an???????U1，
以及k?K，有
a2a3a?4a1ai?K?kai?K,i?(1n, 2a1a2a3?anka1ka2ka3?kan因此kA?kana1a2?an?1ka1ka2?kan?1??????kan??????U
a2a3a4?a1ka2ka3ka4?ka1a1a2a3?anb1b2b3?bn 对任意的A?ana1a2?an?1b1b2?bn?1??????U，和B?bn??????U，有
a2a3a4?a1b2b3b4?b1ai?K,bi?K?ai?bi?K,
因
此
a1?n?A?an1????B?a2??
可知U是Mn(K)的一个子空间。
a2a2a3?ci1ci2ci1?ci3a1ci3ci2?ci4a2a1?a3????a3a2?a4cinci(n?1)?ci1????anan?1?a1n
记Ci?cin?ci2 ，其中cij???0,j?i?1,j?i，i?1,2,...,n，
对任意的A?an?a2?U，有A??ak?1kCk，即U所有向量都能用向
量组(C1,C2,...,Cn)线性表出
k1nk2k1?k3k3k2?k4????knkn?1?k1?On
设一组数ki?K,i?1,2,...,n，满足?kiCi?On，亦即
i?1kn?k2
可得ki?0,i?1,2,...,n，向量组(C1,C2,...,Cn)线性无关 综上向量组(C1,C2,...,Cn)是U的一组基
5．（1）设实数域R上n级矩阵H的(i,j)元为
1i?j?1（n?1）。在实数域上n维线性空
间Rn中，对于?,??Rn，令f(?,?)???H?。试问：f是不是Rn上的一个内积，写出理由。
n （2）设A是n级正定矩阵（n?1）??R，且?是非零列向量。令B?A???，求B的最大特征值以及B的属于这个特征值的特征子空间的维数和一个基 解：
(1) f是Rn上的一个内积，证明如下：
容易验证f是Rn上的一个双线性函数
?a1???a?2?对Rn中任意的非零向量?????，f(?,?)???H????????a??n?nnn
??i?i?1j?1aiajj?1
ni?1inij 令g(x)??axi?1，是R上的一个多项式函数，有0?g(x)?2??aai?1j?1xi?j?2