1n2nij1i?j?2nn 可得0?1?g0(x)dx???aa?xi?1j?10dx???i?i?1j?1aiajj?1?f(?,?)
2若?g(x)dx?0，由于g2(x)在[0，1]上连续，则必有g(x)?0，g(x)?0
201
则ai?0,i?1,2,...,n，即??0，与?是R中非零向量矛盾。所以?g(x)dx?0，
0n2f(?,?)?0
所以f是Rn上的一个内积
(2) 由于A正定，??0，可得???'A??0，A??0，rankB?rank?'??1，
由rankB?1 知方程组BX?0解空间W0的维数为n?1，W0同时也是B的属于0特征值的特征子空间
由??0，A??0和BA??A??'A??(?'A?)A???A?，知?是B的特征值，
A?是B的属于特征值?的特征向量
设B的属于这个特征值的特征子空间为W?，由??0，W??W0?0，所以
dimW??dimW0?dim(W??W0)?n
即dimW??1，而A??0,A??W?，dimW??1，W?的一组基为A?
dimW??1?dimW??dimW0?n，因此B没有其他特征值，??0是B的唯一
非零特征值，也是B最大的特征向量
6．设A是数域R上n维线性空间V上的一个线性变换，用I表示V上的恒等变换，证明：
(I?A)?rank(I?A?A)?n A?I?rank32证明：
记f(x)?1?x,g(x)?1?x,h(x)?1?x?x 其中(g(x),h(x))?1，f(x)?g(x)h(x)
因此Kerf(A)?Kerg(A)?Kerh(A)，Kerg(A)?Kerh(A)?0 于是
32A?I?f(A)?0?Kerf(A)?V?V?Kerg(A)?Kerh(A)?dimV?dimKerg(A)?dimKerh(A)?n?n?rankg(A)?n?rankh(A)?n?rank(I?A)?rank(I?A?A)23