三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）（2016春高密市期末）已知（x+相等． （1）求n的值；
（2）求展开式中所有二项式系数的和； （3）求展开式中所有的有理项．
n
n
）的展开式中的第二项和第三项的系数
【分析】写出二项式（x+）展开式的通项公式，（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，列出方程求出n的值；
n
（2）利用展开式中所有二项式系数的和为2，即可求出结果； （3）根据二项式展开式的通项公式，求出展开式中所有的有理项． 【解答】解：二项式（x+
）展开式的通项公式为
n
Tr+1=
x
n﹣r
=，（r=0，1，2，…，n）；
（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，得
=，即n=，
解得n=5；
（2）展开式中所有二项式系数的和为 +
+
+…+
=2=32；
5
（3）二项式展开式的通项公式为
Tr+1=
，（r=0，1，2，…，5）；
当r=0，2，4时，对应项是有理项， 所以展开式中所有的有理项为
T1=
x=x，
55
T3=
x
5﹣3
=x，
2
T5=
x
5﹣6
=．
【点评】本题考查了二项式展开式中二项式系数和的应用问题，也考查了利用通项公式求特定项的应用问题，是综合性题目．
17．（12分）（2016春高密市期末）医院到某社区检查老年人的体质健康情况，从该社区全体老人中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：65，78，90，86，52，87，72，86，87，98，88，86．根据老年人体质健康标准，成绩不低于80的为优良．
（1）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该社区全体老年人中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；
（2）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的人数，求ξ的分布列和期望． 【分析】（1）从该社区中任选1人，成绩是“优良”的概率为，由此能求出在该社区老人中任选三人，至少有1人成绩是‘优良’的概率．
（2）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和期望． 【解答】解：（1）抽取的12人中成绩是“优良”的频率为，
故从该社区中任选1人，成绩是“优良”的概率为， 设“在该社区老人中任选三人，至少有1人成绩是‘优良’的事件”为A， 则P（A）=1﹣=． （2）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）==，
P（ξ=1）==，
P（ξ=2）==，
P（ξ=3）==， ∴ξ的分布列为： ξ 0 P
1
2
3
Eξ==2． 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．
18．（12分）（2016春高密市期末）如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ACC1⊥底面ABC，且∠A1AC=（1）求证：AC⊥平面A1OB；
（2）求二面角B1﹣AC﹣B的余弦值．
，点O为AC的中点．
【分析】（1）连结A1C，推导出A1O⊥AC，BO⊥AC，由此能证明AC⊥平面A1OB． （2）以O为原点，分别以OB、OC、OA1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明二面角B1﹣AC﹣B的余弦值． 【解答】证明：（1）连结A1C，∵AC=AA1，∠A1AC=
，AB=BC，点O为AC的中点，
∴A1O⊥AC，BO⊥AC， ∵A1O∩BO=O， ∴AC⊥平面A1OB． 解：（2）∵侧面A1ACC1⊥底面ABC，∴A1O⊥平面ABC，∴A1O⊥BO， ∴以O为原点，分别以OB、OC、OA1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则A（0，﹣1，0），B（ ∴
=（0，1，
），
=（
，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，
），
），B1（
=（0，2，0），
），
设平面AB1C的法向量为=（x，y，z），
则
又平面ABC的法向量为
，取x=﹣1，得=（﹣1，0，1）， =（0，0，
），
∴cos＜＞===，
∴二面角B1﹣AC﹣B的余弦值为．
【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真认真审题，注意向量法的合理运用．
19．（12分）（2016春高密市期末）某大型企业招聘会的现场，所有应聘者的初次面试都由张、王、李三位专家投票决定是否进入下一轮测试，张、王、李三位专家都有“通过”、“待定”、“淘汰”三类票各一张，每个应聘者面试时，张、王、李三位专家必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类的概率均为，且三人投票相互没有影响，若投票结果中至少有两张“通过”票，则该应聘者初次面试获得“通过”，否则该应聘者不能获得“通过”．
（1）求应聘者甲的投票结果获得“通过”的概率；
（2）记应聘者乙的投票结果所含“通过”和“待定”票的票数之和为X，求X的分布列和数学期望． 【分析】（1）应聘者甲的投票结果获得“通过”为事件A，则事件A包含甲获2张“通过”票或甲获3张“通过”票，张、王、李三位专家必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率为，且三人投票相互没有影响，由此能求出应聘者甲最终获“通过”的概率．
（2）应聘者乙所获“通过”和“待定”票的票数之和X的所有数值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX． 【解答】解：（1）应聘者甲的投票结果获得“通过”为事件A， 则事件A包含甲获2张“通过”票或甲获3张“通过”票， ∵张、王、李三位专家必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率为， 且三人投票相互没有影响， ∴应聘者甲最终获“通过”的概率为： P（A）==．
（2）应聘者乙所获“通过”和“待定”票的票数之和X的所有数值为0，1，2，3， 则P（X=0）=P（X=1）=P（X=2）=
P（X=3）==， ∴X的分布列为： X 0 P ∴EX=
==， ， ，
1 =2．
2
3
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用． 20．（13分）（2016春高密市期末）某校高二八班选出甲、乙、丙三名同学参加级部组织的科学知识竞赛．在该次竞赛中只设成绩优秀和成绩良好两个等次，若某同学成绩优秀，则给予班级10分的班级积分，若成绩良好，则给予班级5分的班级积分．假设甲、乙、丙成绩为优秀的概率分别为，，，他们的竞赛成绩相互独立． （1）求在该次竞赛中甲、乙、丙三名同学中至少有一名成绩为优秀的概率； （2）记在该次竞赛中甲、乙、丙三名同学所得的班级积分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ． 【分析】（1）记“甲成绩为优秀”为事件A，“乙成绩优秀”为事件B，“丙成绩优秀”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名成绩为优秀”为事件E，由事件A、B、C是相互独立事件，事件ABC与事件E是对立事件，能求出在该次竞赛中甲、乙、丙三名同学中至少有一名成绩为优秀的概率．
（2）ξ的所有可能取值为15，20，25，30，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ． 【解答】解：（1）记“甲成绩为优秀”为事件A，“乙成绩优秀”为事件B，“丙成绩优秀”为事件C， “甲、乙、丙至少有一名成绩为优秀”为事件E， ∵事件A、B、C是相互独立事件，事件ABC与事件E是对立事件， ∴P（E）=1﹣P（）=1﹣=． （2）ξ的所有可能取值为15，20，25，30， P（ξ=15）=P（P（ξ=20）=P（A
）=）+P（
=， ）+P（
）=
=， 20
25
+
30
+
=
，
P（ξ=30）=P（ABC）=∴ξ的分布列为： ξ 15 P
Eξ==． 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．
21．（14分）（2016春高密市期末）已知函数f（x）=x﹣lnx﹣1，g（x）=k（f（x）﹣x）+（k∈R）．
，