（1）求曲线y=f（x）在（2，f（2））处的切线方程； （2）求函数g（x）的单调区间；
（3）当1＜k＜3，x∈（1，e）时，求证：g（x）＞﹣（1+ln3）． 【分析】（1）求出函数的导数，切点坐标，斜率，运用点斜式方程即可求解切线方程；
（2）求出g（x）的解析式，求得导数，通过①当k≤0时，②当k＞0时，由导数大于0，可得增区间，导数小于0，可得减区间，注意定义域； （3）通过（2），当1＜k＜3，x∈（1，e），g（x）的导数和函数值变化情况，求出函数的极值、最值，构造函数h（k）=﹣﹣lnk，求出导数，判断单调性，证明即可得到． 【解答】解：（1）由f（x）=x﹣lnx﹣1，可得f′（x）=1﹣． 即有f（2）=1﹣ln2，f′（2）=，
所以切线方程是y﹣（1﹣ln2）=（x﹣2）， 即为y=x﹣ln2；
（2）由f（x）=x﹣lnx﹣1，
可得g（x）=k（f（x）﹣x）+=﹣klnx﹣k，
g′（x）=x﹣=，（x＞0），
．
①当k≤0时，g′（x）＞0． 可得g（x）的单调递增区间是（0，+∞），无单调递减区间； ②当k＞0时，令g′（x）＞0，得x＞所以g（x）的单调递增区间是（
；令g′（x）＜0，得0＜x＜
，+∞），单调递减区间是（0，）；
（3）证明：由（2）知，当1＜k＜3，x∈（1，e），g（x）的导数和函数值变化情况如下图 x g′（x） g（x）
（1，﹣ 递减
）
0
极小值
（+ 递增
，e）
所以g（x）的最小值是g（）=﹣﹣lnk；
令h（k）=﹣﹣lnk，可得h′（k）=﹣1﹣lnk， 因为1＜k＜3，所以lnk＞0，
所以h′（k）＜0，
即有h（k）在（1，3）上单调递减． 则h（k）＞h（3）=﹣﹣ln3．
当1＜k＜3，x∈（1，e）时，g（x）＞﹣﹣ln3=﹣（1+ln3）．
综上所述，当1＜k＜3，x∈（1，e）时，g（x）＞﹣（1+ln3）．
【点评】本题考查函数的导数的综合应用，切线方程的求法，极值以及函数的最值的应用，考查分类讨论的思想方法和构造函数法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．