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2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上) (1)
?102x?x2dx? (2) 曲面x2?2y2?3z2?21在点?1, -2, 2?的法线方程为 (3) 微分方程xy\?3y'?0的通解为 1??x1??1??12??????(4) 已知方程组23a?2x2?3无解，则a? ????????1a?2????x3????0??(5) 设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为生A不发生的概率相等，则P(A) =
二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设f(x),g(x)是恒大于零的可导函数，且f'(x)g(x)?f(x)g'(x)?0,则当a?x?b 时，有 ( )
(A)f(x)g(b)?f(b)g(x) (B) f(x)g(a)?f(a)g(x) (C)f(x)g(x)?f(b)g(b)
1 , A发生B不发生的概率与B发9
(D) f(x)g(x)?f(a)g(a)
(2) 设S:x2?y2?z2?a2(z?0),S1为S在第一卦限中的部分，则有 ( )
(A)(C)
??xdS?4??xdS (B)??ydS?4??xdS
SS1SS1??zdS?4??xdS (D)??xyzdS?4??xyzdS
SS1SS1(3) 设级数
?un?1?n收敛，则必收敛的级数为 ( )
???un2(A)???1?. (B)?un. (C)?(u2n?1?u2n). (D)?(un?un?1).
nn?1n?1n?1n?1n?(4) 设n维列向量组?1,???,?m(m?n)线性无关，则n维列向量组?1,???,?m线性无关的充分必要条件为 ( )
(A) 向量组?1,???,?m可由向量组?1,???,?m线性表示.
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(B) 向量组?1,???,?m可由向量组?1,???,?m线性表示. (C) 向量组?1,???,?m与向量组?1,???,?m等价. (D) 矩阵A???1,???,?m?与矩阵B???1,???,?m?等价.
(5) 设二维随机变量?X ,Y?服从二维正态分布，则随机变量??X?Y与??X?Y不相关的充分必要条件为 ( )
22(A) E(X)?E(Y). (B) E(X)??E(X)??E(Y)??E(Y)?. 22(C) E(X2)?E(Y2). (D) E(X)??E(X)??E(Y)??E(Y)?.
2222
三、(本题满分5分)
1??x2?esinx?. 求lim??4x?0?x??1?ex???四、(本题满分6分)
?x??x??2z设z?f?xy,??g??,其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数，求.
?x?y?y??y?五、(本题满分6分)
计算曲线积分I??Lxdy?ydx R为半径的圆周?R >1?，,其中L是以点?1,0?为中心，224x?y取逆时针方向. 六、(本题满分7分)
设对于半空间x?0内任意的光滑有向封闭曲面S, 都有
??Sxf(x)dydz?xyf(x)dzdx?e2xzdxdy?0,
f(x)?1,= 求f(x). 其中函数f(x)在(0, +?)内具有连续的一阶导数，且lim?x?0七、(本题满分6分)
1xn求幂级数?n的收敛区域，并讨论该区间端点处的收敛性. nnn?13?(?2)?八、(本题满分7分)
设有一半径为R的球体，P0是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点
k?0)，求球体的重心位置. 到P0距离的平方成正比(比例常数
九、(本题满分6分)
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设函数f(x)在?0,??上连续，且
??0f(x)dx?0,?f(x)cosxdx?0,试证：在(0,?)内
0?至少存在两个不同的点?1,?2,使f(?1)?f(?2)?0. 十、(本题满分6 分)
?10?01设矩阵A的伴随矩阵A*???10??0?3位矩阵，求矩阵B.
十一、(本题满分8分)
00100?0??,且ABA?1?BA?1?3E,其中E为4 阶单0??8?某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将
1熟练工支援其6他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有
2成为熟练工.设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为xn,yn记成向5?xn?1??xn??xn?1??xn??xn?量??. (1) 求?与的关系式并写成矩阵形式：?A??y?????; yy?n?1??n??n??yn?1??yn?(2) 验证?1???,?2???4??1???1??是A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值； 1???1??x?(3) 当?x1???2?时，求?n?1?.
?????yn?1??y1??1???2??十二、(本题满分8分)
某流水生产线上每个产品不合格的概率为p?0?p?1?,各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了产品的个数为X , 求
X的数学期望E?X?和方差D?X?.
十三、(本题满分8分)
?2e?2(x??),x??设某种元件的使用寿命X的概率密度为f(x;?)??
?0, x??其中??0为未知参数，又设x1,x2,???,xn是X的一组样本观测值，求参数?的最大似然估计值.
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2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题 (1)【答案】
? 4【详解】I??102x?x2dx??1?(x?1)2dx
01解法1：用换元积分法：设x?1?sint，当x?0时，sint??1，所以下限取?时，sint?0，所以上限取0. 所以 Ix?1?sint?2；当x?1???costcostdt
?20由于在区间[??2,0]，函数cost非负，则 I???costdt??2cos2t??200?2?4
解法2：由于曲线y?2x?x2?1?(x?1)2是以点(1,0)为圆心，以1为半径的上半圆
周，它与直线x?1和y?0所围图形的面积为圆面积的
(2)【答案】
1?，故答案是 44x?1y?2z?2??. 1?46【详解】曲面方程F(x,y,z)?0在点(x0,y0,z0)的法矢量为：
n?{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}
令F(x,y,z)?x?2y?3z?21, 则有
222Fx'?1, -2, 2??2x|?1, -2, 2??2,Fy'?1, -2, 2??4y|?1, -2, 2???8, Fz'?1, -2, 2??6z|?1, -2, 2??12.所以曲面在点(1,?2,2)处的法线方程为：
(3)【答案】y?x?1y?2z?2x?1y?2z?2??. 即 ??. 2?8121?46C1?C2 2x【分析】此方程为二阶可降阶的微分方程，属于y\?f(x,y')型的微分方程. 【详解】令p?y'，有y\?dpdpdpp?3p?0，??3?0 .原方程化为：xdxdxdxx精品文档，知识共享！
分离变量：
dpdx??3 pxdpdx??3?p?x?lnp??3lnx?C1
?3lnx?C1两端积分：
从而 p?e?eC1e?3lnx?eC1x?3?eC11x3
因记C2?eC1?0是大于零的任意常数，上式可写成 p??C3，便得方程的通解p?C3x?3， 3xC2； 3x记C3??C2，p?即
dy?C3x?3?dy?C3x?3dx，其中C3是任意常数 dx对上式再积分，得：
y??C3x?3dx??所以原方程的通解为：
C3?2C5C??x?C4?2?C4,?C5??3? 2x2??y?C1?C2 x2
(4)【答案】?1.
【详解】化增广矩阵为阶梯形，有
1?12?23a?2???1a?21??121?0?13??a??0????0a?2?31?1?? a?3??1?1?? ?1??1?12??a?0?1??00(a?3)(a?1)当a = ?1时，系数矩阵的秩为2，而增广矩阵的秩为3，根据方程组解的判定，其系数矩
阵与增广矩阵的秩不同，因此方程组无解.
当a = 3时，系数矩阵和增光矩阵的秩均为2，由方程组解的判定，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，而且小于未知量的个数，所以方程组有无穷多解.
(5)【答案】23(由A,B独立的定义：P(AB)?P(A)P(B)) 【详解】由题设，有P(AB)?1,P(AB)?P(AB) 9因为A和B相互独立，所以A与B，A与B也相互独立.