竞赛讲座(有关恒等式的证明)
一、 知识要点
恒等式的证明分为一般恒等式的证明和条件恒等式证明，对于一般恒等式的证明，常常通过恒等变形从一边证到另一边，或证两边都等于同一个数或式。在恒等变形过程中，除了要掌握一些基本方法外，还应注意应用一些变形技巧，如：整体处理、“1”的代换等；对于条件恒等式的证明，如何处理好条件等式是关键，要认真分析条件等式的结构特征，以及它和要证明的恒等式之间的关系。 二、 例题精讲
例1 求证：a1+(1-a1)a2+(1-a1)(1-a2)a3+?+(1-a1)(1-a2)?(1-a n-1)a n
=1-(1-a1)(1-a2)?(1-a n-1)(1-a n).
分析：要证等式成立，只要证明
1- a1- (1-a1)a2- (1-a1)(1-a2)a3 -?- (1-a1)(1-a2)?(1-a n-1)a n
=(1-a1)(1-a2)?(1-a n-1)(1-a n)
证明：1- a1- (1-a1)a2- (1-a1)(1-a2)a3 -?- (1-a1)(1-a2)?(1-a n-1)a n
=(1-a1)[ 1- a2- (1-a2)a3- (1-a2)(1-a3)a4 -?- (1-a2)(1-a3)?(1-a n-1)a n]
=(1-a1) (1-a2)[ 1- a3- (1-a3)a4- (1-a3)(1-a4)a5 -?- (1-a3)(1-a4)?(1-a n-1)a n] =(1-a1) (1-a2) (1-a3)[ 1- a4- (1-a4)a5- (1-a4)(1-a5)a6 -?- (1-a4)(1-a5)?(1-a
n-1)a n]
=??
=(1-a1)(1-a2)?(1-a n-1)(1-a n) ∴ 原等式成立
例2 证明恒等式
ana3a1a2a2a1 ?????????a2?a1?a2?a3?a2?a3?a1?an?a1?a1?a1?a2?a2?a2?a3?an?an?a1?(第二十届全俄数学奥林匹克九年级试题) 证明:
ana1a2????a2?a1?a2?a3?a2?a3?a1?an?a1??1?11??11?1???????????????a??a??aa?a??a?aa?a12?23?n1??2?3?1?1?11??11?1????????????????aa?a??a??a?a?aa?a12?23?n1??1?2?na3a2a1?????a1?a1?a2?a2?a2?a3?an?an?a1?
评注：裂项是恒等变形中常用的一种方法.
例3 若abc=1，求证
abc???1.
ab?a?1bc?b?1ca?c?1a的分子、分母上同乘c，化成ab?a?1分析：所要求证的等式的左边是三个分母差异很大的式子，因而变形比较困难。可以充分
利用abc=1，将它们化成同分母。在
accab，将的分母中的“1”换成abc得 ?abc?ac?cca?c?1bc?b?1b1 ，然后再相加即可得证。 ?bc?b?abcc?1?ca证明：∵abc=1
abc ??ab?a?1bc?b?1ca?c?1acbc =+ ?abc?ac?cbc?b?abcca?c?1ca1c =+ ?ca?c?1c?1?caca?c?1ca?1?c=1
=
ca?c?1∴
于是命题得证。
评注：“1”的代换是恒等变形中常用的技巧。
例4 已知bc=ad，求证：ab(c2-d2)=(a2-b2)cd
ac，然后利用比例的性质来解题。 ?bdaca?bc?da?bc?dcc
证明：∵bc=ad ∴?， ??，?，?bdbdbddd分析：将bc=ad化成比例式
将此三式左、右两边分别相乘得
?a?b??a?b?c??c?d??c?d?a
b2dd2b ∴ab(c2-d2)=(a2-b2)cd
评注：条件恒等式的证明常从已知条件出发推出结论。
例5 已知x=by+cz，y=cz+ax，z=ax+by，且x+y+z≠0.证明：
abc???1 1?a1?b1?c分析：所证明的式子中不含x、y、z，因而可以将已知条件中的三个等式中的x、y、z看
成常数，把三个式子联合起来组成一个关于a、b、c的方程，然后求出a、b、c。 再代入等式的左边证明。
(1)?x?by?cz ?证明：解方程组?y?cz?ax (2) ?z?ax?by (3)? (2)+(3)-(1) 得y+z-x=2ax，所以a? 所以
y?z?xx?y?z
则1?a?2x2xay?z?x ?1?ax?y?zbx?z?ycx?y?z， ??1?bx?y?z1?cx?y?z 同理可得，
所以
abcx?y?z????1 1?a1?b1?cx?y?z评注：将含有字母的等式视为方程，是方程思想的应用。 例6 数x、y、z满足关系式
xyz???1, y?zz?xx?y222xyz证明：???0 (第十六届全俄数学奥林匹克十年级试题) y?zz?xx?y证明：将已知等式分别乘以x、y、z得
2xxyxz ???x ① y?zz?xx?yxyy2yz???y ② y?zz?xx?yxzyzz2???z ③ y?zz?xx?y ①+②+③ 得
x2y2z2xyxzxyyzxzyz???(?)?(?)?(?) y?zz?xx?yy?zy?zz?xz?xx?yx?y
?x?y?z222xyz 所以???x?y?z?x?y?z y?zz?xx?y222xyz 即：???0 y?zz?xx?y
222222
例7 已知a+b+c=a+b+c=2，求证：a(1-a)=b(1-b)=c(1-c)
2
分析：求证的等式中的各式，恰好是多项式x(1-x)中的x分别取a、b、c时的值。 因此，本题可转化为证明当x分别取a、b、c时，x(1-x)2的值不变。由于x(1-x)2
是关于x的三次多项式，且注意到题设条件，所以我们构造三次式(x-a)(x-b)(x-c)，建立它与x(1-x)2之间的某种关系。
2222
证明：∵(a+b+c)= a+b+c+2ab+2bc+2ca
222
又∵a+b+c=a+b+c=2
∴4=2+2ab+2bc+2ca，∴ab+bc+ca=1
32
∴(x-a)(x-b)(x-c)=x-(a+b+c)x+(ab+bc+ca)x-abc
32
= x-2x+x-abc 即x(1-x)2=(x-a)(x-b)(x-c)+ abc
由此可见，当x分别取a、b、c时，x(1-x)2的值都是abc
222
∴ a(1-a)=b(1-b)=c (1-c)
2
评注：本题的证明采用了构造法，它构造了三次式(x-a)(x-b)(x-c)，然后建立它与x(1-x)
之间的关系，再通过赋值来证明。 例8设
1111，证明 ???abca?b?c1. nnna?b?c(1) a、b、c三数中必有两个数之和为零；
111(2) 对任何奇数n，有???nnnabc分析：要求a、b、c三数中必有两个数之和为零，即要证(a+b)(b+c)(c+a)=0，故可对已
知条件进行变形，使它出现(a+b)、(b+c)、(c+a)这些因式。 证明：(1)由
1111得 ???abca?b?c
?bc?ca?ab??a?b?c?abc??0 1111????0，即abca?b?cabc?a?b?c? 从已知知a、b、c≠0，所以abc≠0，且a+b+c≠0，
则 (bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=0
∵(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=a (bc+ca+ab)+ (b+c) (bc+ca+ab) –abc
= (b+c) (bc+ca+ab)+ abc+a2c+a2b–abc
2
=(b+c) (bc+ca+ab)+ a (b+c) =(b+c) (a2+bc+ca+ab) =(a+b)(b+c)(c+a)
∴(a+b)(b+c)(c+a)=0，这就是说，在a+b、b+c、c+a 中至少有一个为零，即a、
b、c三数中必有两个数之和为零。
(2) 由(1)，不妨设a+b=0，即b= -a，因为n为奇数 ∴
1111111 ??????anbncnan??a?ncncn111 ??nnnnnnna?b?cca???a??c1111 ???nnnnnnabca?b?c 又
∴
评注：实质(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc是关于a、b、c的一个轮换对称式。令a= -b，代入
222
得 (bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=(bc-bc-b)(-b+b+c)-(-b)bc= -bc+ bc=0
这就是说a+b是(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc的一个因式，由轮换对称式的性质知， b+c、a +c也是(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc的一个因式，因此有
(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=k (a+b)(b+c)(c+a) 再令a=b=c=1代入，求出k=1，所以(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc= (a+b)(b+c)(c+a)
2222
例9 已知ad-bc=1，求证：a+b+c+d+ab+cd≠1
分析：所要证明的式子是一个不等式，左边的式子又较复杂，直接从已知条件出发证明不
是很容易，因而可以考虑用反证法来证明。 证明：假设原式不成立，即a2+b2+c2+d2+ab+cd=1 ∵ad-bc=1，∴a2+b2+c2+d2+ab+cd= ad-bc
22222222
∴a+b+c+d+ab+cd+bc-ad=0，即(a+b)+(b+c)+(c+d)+(d-a)=0 ∴a+b=b+c=c+d=d-a=0，∴a=-b,b=-c,c=-d,d=a
于是a=-a,即a=0, ∴b=c=d=0，这与ad-bc=1矛盾。 ∴原式成立，即a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1
评注：正难则反。碰到正面下手较难的问题，常考虑用反证法来证明。
例10证明：
111n?1
?????1?21?2?31?2?3???nn?1分析：等式左边的分子很简单，都是1，但是分母各不相同，又很复杂，因而给变形带来很大困难。通过观察发现，分母很有规律，是连续自然数的和。因此我们先来研究1+2+?+n，设S=1+2+?+n，则S= n + (n -1)+?+2+1，所以2S=n (n+1)，
∴S=
n?n?1?，即1+2+?+n=n?n?1?， 22从而
11?2???n?1??1?2???
n?n?1??nn?1?2由此，左边的每一个分数均可以分解成两项，代入变形后证明。
证明：设S=1+2+?+n，则S= n + (n -1)+?+2+1，所以2S=n (n+1)，