∴S=
n?n?1?，即1+2+?+n=n?n?1?， 22 ∴
11?2???n?1??1?2???
n?n?1??nn?1?2 ∴等式左边=2?? =2??11??11?1? ?1???2??????2???2334nn?1??????11?n?1n?1=右边 ????2?2?n?1?n?1?2n?1? ∴等式成立
评注：1、要掌握数学中一般与特殊的关系，本题通过研究1+2+?+n，得出
11?的一般规律，然后将等式左边的各个分数分解，?1?2???1?2???nnn?1??达到证明的目的。
2、结论1+2+?+n=
n?n?1?在解题中经常使用，应该记住。
2 3、本题在求S=1+2+?+n时，用的是倒序相加法，在证明等式时用的是裂项相消法，
这两种方法是求和问题解决的常用方法。
三、 巩固练习
选择题
1、若a、b是有理数，且a 2001+b 2001=0，则
A、a=b=0 B、a-b=0 C、a+b=0 D、ab=0
2、若abc满足a2+b2+c2=9，则代数式(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2的最大值是( ) A、27 B、18 C、15 D、12
x?2002?a?2001?3、已知?b?2001x?2003，则a2?b2?c2?ab?bc?ca的值是( ) ?c?2001x?2004?A、0 B、1 C、2 D、3 4、如果
1111????1，则下列说法正确的是( ) xyzx?y?z A、x、y、z中至少有一个为1 B、x、y、z都等于1 C、x、y、z都不等于1 D、以上说法都不对 5、已知
b?c?ac?a?ba?b?c???q, 则q3?q2?q?( )
a?b?cb?c?ac?a?b3
2
A、1 B、1-q C、1-q D、1-2q
6、已知a+b+c=10，a+b+c=38，a+b+c=160，则abc的值是( ) A、24 B、30 C、36 D、42 填空题 7、已知
222333
1?b?c?2??a?b??c?a? 且a?0，则b?c? . 4a8、已知a-b=2，b-c= -3，c-d=5，则(a-c) (b-d) ? (a-d)= . 9、已知abc≠0，a+b+c=0，则a??10、计算??1?11??11??11????b????c????2的值为 . ?bc??ca??ab??1??1??1??1?= .
1??1?1????????22??32??92??102?abcd时，a?b?c?d . ????bcdab?c?d?a11、已知a、b、c、d均不为0，当a≠b且12、已知a=1?1111?????10，则a-1的倒数为 . 2482解答题
222
13、求证：2(a-b) (a-c)+2(b-c) (b-a)+2(c-a) (c-b)= (b-c)+(c-a)+(a-b)
14、求证：(a2+b2+c2) (m2+n2+k2) – (am+bn+ck)2=(an-bm)2+(bk-cn)2+(cm-ak)2
(拉格朗日恒等式)
15、若14(a2+b2+c2)=(a+2b+3c)2，求证：a∶b∶c=1∶2∶3.
16、若
abc，求证：ax+by+cz=(x+y+z) (a+b+c). ??222x?yzy?zxzxy
33332001200120012001.
17、已知a、b、c、d满足a+b=c+d，a+b=c+d, 求证：a+b=c+d
222222
18、已知a+b+c=abc，求证：a(1-b) (1-c)+b(1-a) (1-c)+c(1-a) (1-b)=4abc.
19、已知a3+b3+c3=(a+b+c)3，求证a2n+1+b2n+1+c2n+1=(a+b+c) 2n+1，其中n为自然数。
20、设a、b、c都是正数，且
abc???3，求证：a=b=c. bca
答案
1、由a 2001+b 2001=0，得a 2001+b 2001= -b 2001=(-b) 2001，∴a= -b，从而a+b=0，选C 2、(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ca+a2=3 (a2+b2+c2)-(a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca)
2
=27- (a+b+c)≤27
3、∵2(a2?b2?c2?ab?bc?ca)=2a2?2b2?2c2?2ab?2bc?2ca
=a2?a2?b2?b2?c2?c2?2ab?2bc?2ca??a?b?2??b?c?2??c?a?2 ∴a2?b2?c2?ab?bc?ca=
1??1?2???1?2???2?2?3，故选D 2??4、由条件知：x、y、z都不等于0，则已知条件式可变形成：
xy+yz+zx=xyz，x+y+z-1=0，∴(x-1)(y-1)(z-1)=xyz-xy-yz-xz+x+y+z-1=0 ∴x、y、z中至少有一个为1，故选A
b?c?ac?a?ba?b?cb?c?ac?a?bb?c?a?????a?b?cb?c?ac?a?ba?b?cb?c?aa?b?c 5、
a?b?cc?a?bb?c?aa?b?c ?????1a?b?ca?b?ca?b?ca?b?cq3?q2?q?∴q3-q2+q=1-2q2 故选D
6、∵a3+b3+c3-3abc=(a+b+c) (a2+b2+c2-ab-bc-ca) ∴160-3abc =10 (38-ab-bc-ca)
又∵2(ab+bc+ca)= (a+b+c)-( a+b+c)=100-38=62 ∴160-3 abc =10 (38-31) ∴abc=30 选B
7、∵(b-c)2=4(a-b) (c-a) 即b2-2bc+c2=4ac-4bc+4ab-4a2 ∴4a2+b2+c2-4ac-4ab +2bc =0
22
∴(b+c)-4a(b+c) +4a=0
2
∴[2a-(b+c)]=0 ∴2a=b+c ∴
2222
b?c?2 a8、a-c=(a-b)+(b-c)=2+(-3)= -1， b-d=(b-c)+( c-d)= (-3)+5=2，a-d=(a-b)+ (b-c)+ ( c-d)=4
∴(a-c) (b-d) ? (a-d)=( -1) ?2?4 =?9、原式=a???1
2?11????11????11?? ???1???b????1???c????1??1bc????ca????ab?????11?a???11?b???11?c? ??????b???????c??????1??bc?a???ca?b???ab?c?111?+b?111?+c?111?-1 ???????????abc??abc??abc?? =a??? = a?? =??111?(a+b+c)-1 ????abc? ∵a+b+c=0，∴原式= -1 10、原式=??1??1??1??1??1??1??1??1??1???1???1???1????1???1???1???1?? 2??2??3??3??9??9??10??10?132481091111111 ????????????22339910921020abcd11、∵??? ∴b2?ac， c2?bd， d2?ac， a2?bd bcda =
可见 ac≥0，bd≥0，∴a=c，b=d ∴a2=b2=c2=d2
又∵a≠b，∴b= -a， ∴b=d=-c=-a≠0，
a?b?c?d0??0
b?c?d?a4a1111，∴111111
12、∵a=1??????a???????2482248210210211 于是