数列与数学归纳法专项训练
1.如图，曲线y2?x(y?0)上的点Pi与x轴的正半轴上的点Qi及原点O构成一系列正三角形△OP1Q1，△Q1P2Q2，?△Qn-1PnQn?设正三角形Qn?1PnQn的边长为an,n∈N﹡(记Q0为O),Qn?Sn,0?.（1）求a1的值; （2）求数列{an}的通项公式an。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
22. 设?an?,?bn?都是各项为正数的数列，对任意的正整数n，都有an,bn,an?1成等差数列，22bn,an?1,bn?1成等比数列．
（1）试问?bn?是否成等差数列？为什么？
?1?（2）如果a1?1,b1?2，求数列??的前n项和Sn．
?an?
3. 已知等差数列｛an｝中，a2＝8，S6＝66. （Ⅰ）求数列｛an｝的通项公式； （Ⅱ）设bn?
4. 已知数列{an}中a1??
12，Tn?b1?b2???bn，求证：Tn?.
6(n?1)an311?，an?2?（n≥2，n?N），数列{bn}，满足bn?5an?1an?1（n?N）
（1）求证数列{bn}是等差数列；
（2）求数列{an}中的最大项与最小项，并说明理由； （3）记Sn?b1?b2???bn，求nlim??
(n?1)bn．
Sn?1
3?an， 2 (Ⅰ)试求a1的值，使得数列{an}是一个常数数列；
(Ⅱ)试求a1的取值范围,使得an+1>an对任何自然数n都成立；
(Ⅲ)若a1 = 2，设bn = | an+1－an| (n = 1，2，3，?)，并以Sn表示数列{bn}的前n项的
5和，求证：Sn<．
25. 已知数列{an}中，a1>0, 且an+1=
1x?11?ln?； x?1xx11111（2）已知：n?N且n?2，求证：?????lnn?1????。
23n2n?16. （1）已知：x?(0??)，求证
7. 已知数列?an?各项均不为0，其前n项和为Sn，且对任意n?N?，都有
(1?p)?Sn?p?pan（p为大于1的常数），并记
12n1?Cn?a1?Cn?a2???Cn?an. f(n)?n2?Sn（1）求an； （2）比较f(n?1)与
p?1?f(n)的大小n?N?； 2p2n?12n?1p?1??p?1?????1??（3）求证：(2n?1)?f(n)??f(i)??(n?N?). ??p?1??p?1??i?1??
8. 已知n?N，各项为正的等差数列?an?满足
?a2?a6?21,a3?a5?10，又数列?lgbn?的前n项和是
1Sn?n?n?1?lg3?n?n?1?。
2（1）求数列?an?的通项公式； （2）求证数列?bn?是等比数列；
（3）设cn?anbn，试问数列?cn?有没有最大项？如果有，求出这个最大项，如果没有，说明理由。
9. 设数列?an?前项和为sn,且(3?m)sn?2man?m?3(n?N?),,其中m为常数,m?3. (1) 求证:是等比数列;
若数列?an?的公比q=f(m),数列?bn?满足b1?a1,bn?3f(bn?1)(n?N?,n?2),求2?1?证:??为等差数列,求bn.
?bn?
a1?1,a2?10. 已知数列{an}满足：
1,2且[3?(?1)n]an?2?2an?2[(?1)n?1]?0，
n?N*．
（Ⅰ）求a3，a4，a5，a6的值及数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn?a2n?1?a2n，求数列{bn}的前n项和Sn；